Question

Como tirar um ponto e um vetor da equação reduzida da seguinte reta:
r: y= 2x ; z= x+3.

Answer 1

Dada a equação da reta

$r:\left\{ \begin{array}{l} y=2x\\z=x+3 \end{array} \right.$


Como temos $y$ e $z$ em função da abscissa $x,$ uma forma bem natural seria atribuir dois valores arbitrários para $x$ e descobrir as coordenadas de dois pontos da reta:

$\bullet\;\;$ Para $x=0,$ temos

$y=0\;\text{ e }\;z=3$


Logo, o ponto $A=(0,\,0,\,3)$ pertence à reta $r.$


$\bullet\;\;$ Para $x=-3,$ temos

$y=-6\;\text{ e }\;z=0$


Logo, o ponto $B=(-3,\,-6,\,0)$ também pertence à reta $r.$


$\bullet\;\;$ Um vetor que dá a direção da reta $r$ pode ser o próprio vetor $\overrightarrow{AB},$ ou qualquer outro vetor paralelo a $\overrightarrow{AB}:$

$\overrightarrow{AB}=B-A\\ \\ \overrightarrow{AB}=(-3,\,-6,\,0)-(0,\,0,\,3)\\ \\ \overrightarrow{AB}=(-3-0,\,-6-0,\,0-3)\\ \\ \overrightarrow{AB}=(-3,\,-6,\,-3)\\ \\ \overrightarrow{AB}=-3\cdot (1,\,2,\,1)$


Podemos tomar o vetor $\vec{\mathbf{v}}=(1,\,2,\,1)$ como vetor diretor da reta $r.$


$\bullet\;\;$ Uma equação vetorial para a reta $r$ seria

$r:\;(x,\,y,\,z)=A+\lambda\cdot \vec{\mathbf{v}}\\ \\ r:\;(x,\,y,\,z)=(0,\,0,\,3)+\lambda\cdot (1,\,2,\,1);\;\;\;\lambda \in \mathbb{R}$

Answer 2

Um ponto e um vetor da equação reduzida da reta r: y = 2x; z = x + 3 são, respectivamente, (0,0,3) e (1,2,1).

Vamos supor que uma reta passa pelo ponto A = (x₀, y₀, z₀) e possui direção do vetor u = (a,b,c).

As equações paramétricas dessa reta são definidas por:

{x = x₀ + a.t

{y = y₀ + b.t

{z = z₀ + c.t

Sendo t um parâmetro real.

Dito isso, vamos escrever as equações paramétricas da reta r.

Para isso, observe que tanto y quanto z estão em função de x. Então, podemos considerar que x = t.

Assim, temos que as equações paramétricas da reta r são:

{x = t

{y = 2t

{z = 3 + t.

Agora, devemos comparar essas paramétricas com as paramétricas genéricas citadas no início da resolução.

Feito isso, podemos observar que a reta r passa pelo ponto (0,0,3) e possui direção do vetor u = (1,2,1).

Para mais informações sobre equações paramétricas: https://brainly.com.br/tarefa/20014488