Question

Como somar sen x + cos x

Answer 1

Contextualizando a sua pergunta, a única forma de somar

sen x + cos x

é usando de um artifício chamado transformação de soma em produto.

Primeiramente, lembremos que o seno de um ângulo qualquer é igual ao cosseno de seu complementar, e vice-versa, isto é

•  sen x = cos(90° – x)

•  cos x = sen(90° – x)

Na expressão, substituamos  sen x  por  cos(90° – x), por exemplo:

cos(90° – x) + cos x

Agora que temos uma soma de cossenos, envolvendo apenas uma função trigonométrica, podemos usar uma das fórmulas de prostaférese (transformação de soma em produto):

•  cos p + cos q = 2 · cos[ (p + q)/2 ] · cos[ (p – q)/2 ]

para  p = 90° – x  e  q = x:

cos(90° – x) + cos x = 2 · cos[ (90° – x + x)/2 ] · cos[ (90° – x – x)/2 ]

cos(90° – x) + cos x = 2 · cos[ 90°/2 ] · cos[ (90° – 2x)/2 ]

cos(90° – x) + cos x = 2 · cos 45° · cos[ 90°/2 – 2x/2 ]

cos(90° – x) + cos x = 2 · cos 45° · cos(45° – x)

e como sabemos que  cos 45° = (√2)/2,  a igualdade acima fica

cos(90° – x) + cos x = 2 · (√2)/2 · cos(45° – x)

cos(90° – x) + cos x = √2 · cos(45° – x)


∴     sen x + cos x = √2 · cos(45° – x)

esta é uma das formas de se expressar  sen x + cos x  como um produto, embora não seja a única.


Bons estudos! :-)