Question

Como solucionar o triângulo russo

Answer 1

Resposta:

O “Triângulo Russo” trata-se de um problema clássico da Geometria Plana.

Muitos o chamam de “Problema de Langley”, em homenagem ao autor, Edward Mann Langley (1851-1933). Apresentado como exercício em um livro de matemática russo cujo principal autor chamava-se Victor Borisovich Lidskii (1924-2008), esse problema é também conhecido como “Triângulo de Lidskii”.

Vamos a ele.

Na figura abaixo, sabendo que os segmentos AB¯¯¯¯¯¯¯¯AB¯ e AC¯¯¯¯¯¯¯¯AC¯ têm o mesmo comprimento, determine a medida xx, em graus, do ângulo BN^MBN^M.

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Lembretes e notação

(1) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180∘180∘. (Se precisar, visite esta página.)

(2) Todo triângulo isósceles possui os lados adjacentes à base congruentes e ângulos da base com mesma medida. (Se precisar, veja o finalzinho desta página.)

(3) Se um triângulo isósceles possui um ângulo interno medindo 60∘60∘, então esse triângulo é equilátero.

(4) Notação: Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos AA e BB, por AB¯¯¯¯¯¯¯¯AB¯ e o seu comprimento por ABAB.

Solução

Sabemos que a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180∘180∘ (Lembrete (1)). Assim, como AB=ACAB=AC, observando o triângulo ABCABC concluímos que AB^C=AC^B=80∘AB^C=AC^B=80∘. Podemos, então, construir um segmento de reta com extremidade no ponto BB e que intercepta o lado AC¯¯¯¯¯¯¯¯AC¯ em um ponto PP de tal forma que o ângulo PB^C=20∘.PB^C=20∘.

Utilizando o Lembrete (1), vamos explorar a figura anterior e encontrar a medida de vários ângulos.

Note que no △PBC△PBC, o ponto BB é vértice de um ângulo cuja medida é 20∘20∘ e o ponto CC é vértice de um ângulo cuja medida é 80∘.80∘. Logo, concluímos que a medida do ângulo BP^CBP^C é 80∘.80∘.

Analogamente, no △BMC△BMC, temos que a medida do ângulo B^B^ é 80∘80∘ e a do ângulo C^C^ é 50∘.50∘. Consequentemente, M^M^ mede 50∘.50∘.

Por fim, no △PBN△PBN, temos o ângulo que B^B^ mede 40∘40∘ e P^P^ mede 100∘100∘ (pois a medida de BP^CBP^C é 80∘80∘). Portanto, N^=40∘.N^=40∘.

Infelizmente, não conseguimos ainda o valor do ângulo pedido; assim, vamos fazer novas análises,

Na sequência, podemos destacar três triângulos isósceles: △BPC△BPC, △PNB△PNB e △BMC△BMC. Observando esses triângulos, concluímos que:

BC=BP=PN=BM.BC=BP=PN=BM.

Agora, perceba que o ângulo PB^MPB^M mede 60∘60∘ e que BM=BPBM=BP. Portanto, ao construirmos o segmento MP¯¯¯¯¯¯¯¯¯MP¯, percebemos que △BMP△BMP é um triângulo equilátero.

Note também que PM=PNPM=PN. Logo, o △PMN△PMN é isósceles e, portanto, os ângulos da base PM^NPM^N e PN^MPN^M medem 180∘−40∘2=70∘180∘−40∘2=70∘.

Finalmente, temos que x+40∘=70∘x+40∘=70∘, donde x=30∘.x=30∘.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog