Question

como simplificar números racionais

Answer 1

Na verdade só há uma maneira de simplificar uma fracção, que é dividir ambos os membros pelo mesmo número inteiro.
E mesmo assim, é preciso que exista algum inteiro que divida os dois membros, caso contrário a fracção diz-se irredutível.
Pode haver várias maneiras, mas é para procurar aquele número que consegue dividir ambos os membros.
Para procurar esse número, pode-se dividir os métodos em dois tipos.
Um deles é por tentativa e erro, consiste em ir experimentando vários números, fazer as divisões e encontrar um número que consiga dividir tanto o numerador como o denominador.
A outra maneira é usar a inteligência. Neste caso pode-se encontrar esse número sem andar a fazer divisões que resultam em pura perda de tempo.
Para isso temos este raciocínio muito simples: se existir um número que divide tanto o A como o B, então esse número também tem que dividir necessáriamente, o A-B, ou seja a diferença entre o numerador e o denominador, tomada pela positiva. 
Isso mesmo podemos ver na tabuada de um número qualquer, tomemos por exemplo a tabuada do 7. Dois múltiplos quaisquer do 7 são por exemplo, 7x4 = 28 e 7x7 = 49. Se eu fizer a diferença 49-28 = 21, obtenho necessáriamente um outro número, neste caso o 21, que também tem que pertencer à tabuada do 7, neste caso temos 21 = 7x3. E isto não é por acaso, faz parte integrante da condição dos múltiplos do mesmo número, neste caso do 7.
Aplicando ao nosso caso do A e do B, mesmo não conhecendo qual é o número que divide os dois, posso afirmar que se esse número existir, então esse número também consegue dividir de certeza o A-B. Admitindo então que o A é maior do que o B, posso substituir o A pelo A-B, e continuar o mesmo raciocínio, passando a procurar o divisor entre o A-B e o B, em vez de ser entre o A e o B. O ganho que obtenho, é que a procura passa a utilizar números mais pequenos do que de início.
Se continuar este raciocínio, substituindo constantemente o número maior pela diferença, acabo sempre por obter dois números iguais, ou seja que já não se pode fazer a diferença por ser zero. Isso quer dizer que tendo começado com números diferentes, acabei com dois números iguais. Esse número que obtive, será aquele que consegue dividir os números iniciais A e B. Se for a unidade, significa que não existe nenhum outro número, o que quer dizer que consegui saber que a fracção era irredutível, mesmo sem fazer uma única divisão.
Se esse número que obtive for maior do que 1, então esse será o número que irei utilizar para simplificar a minha fracção.