Question

Como simplificar essa fracão algebrica 3x elevado 2+6x+3.....

Answer 1

1)

2x
4y

2)

4y2 – 9x2 
2y + 3x

Simplificando frações algébricas

Simplificar uma fração algébrica segue o mesmo fundamento de simplificar uma fração numérica. É preciso dividir numerador e denominador por um mesmo número. Observe um exemplo de simplificação de fração:

 30  =  15  =  5   =  1  
 60      30     10      2 

A fração acima foi simplificada por 2, depois por 3 e depois por 5. Para fundamentar o procedimento de simplificação de frações algébricas, reescreveremos a primeira fração acima em sua forma fatorada:

30 =    2·3·5   
60     2·2·3·5 

Perceba que os números 2, 3 e 5 repetem-se no numerador e no denominador e que eles foram exatamente os mesmos números pelos quais a fração foi simplificada. No contexto das frações algébricas, o procedimento é parecido, pois é necessário fatorar os polinômios presentes no numerador e no denominador. Após isso, devemos avaliar se é possível simplificar alguns deles.

Exemplos

1) Simplifique a fração algébrica seguinte:

4x2y3 
16xy6

Fatore cada uma das incógnitas e números presentes na fração:

4x2y3 
16xy6

       2·2·x·x·y·y·y        
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y

Agora realize as divisões que forem possíveis, conforme feito anteriormente para a fração numérica: Os números que aparecem tanto no numerador quanto no denominador desaparecem, isto é, são “cortados”. Também é possível escrever que o resultado de cada uma dessas simplificações é 1. Observe:

       2·2·x·x·y·y·y        
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y

       x        
2·2·y·y·y

   x    
4y3

2) Simplifique a fração algébrica seguinte:

4y2 – 9x2 
2y + 3x

Observe que o numerador dessa fração algébrica enquadra-se em um dos casos de produtos notáveis, isto é, a diferença de dois quadrados. Para fatorá-lo, basta reescrevê-lo em sua forma fatorada. Após isso, é possível “cortar” os termos que aparecem tanto no denominador quanto no numerador assim como no exemplo anterior. Observe:

4y2 – 9x2 
2y + 3x

= (2y + 3x)(2y – 3x)
    2y + 3x

= 1·(2y – 3x)

= 2y + 3x

3) Simplifique a fração algébrica seguinte:

a2(y2 – 16x2) 
ay + 4ax

Como feito anteriormente, fatore os polinômios presentes no numerador e no denominador. Após isso, realize as divisões que forem possíveis.

a2(y2 – 16x2) 
ay + 4ax

= a·a·(y + 4x)(y – 4x)
  a·(y + 4x)

Observe que o numerador foi fatorado por meio da diferença de dois quadrados e o denominador foi fatorado por meio do fator comum. Além disso, o termo a2 pode ser escrito como o produto a·a. Para finalizar, realize as divisões que forem possíveis. A saber, a por a e (y + 4x) por (y + 4x):

a·a·(y + 4x)(y – 4x)
a·(y + 4x)

= 1·1·(y – 4x)

= y – 4x

Os casos de fatoração são de suma importância para simplificar frações algébricas. Abaixo estão listados os casos mais importantes e algumas páginas onde podem ser encontrados com mais detalhes.

Fatoração de expressões algébricas

Um polinômio pode ser escrita em sua forma fatorada se puder ser expresso em uma das quatro formas abaixo. Os resultados apresentados são sua forma fatorada ou exemplos de como fatorá-los:

1 – Fator comum

Caso todos os termos do polinômio possuam incógnita ou algum número comum, é possível colocá-los em evidência. Por exemplo, no polinômio 4x2 + 2x podemos colocar 2x em evidência. O resultado será:

4x2 + 2x = 2x(2x + 1)

Observe que, ao realizar a multiplicação indicada no segundo membro (lado direito da igualdade), o resultado será justamente o primeiro membro (lado esquerdo da igualdade), em virtude da propriedade distributiva da multiplicação.

2 – Agrupamento