Question

Como simplificar a expressão (a² + a/ x² + x) . ( x²-1/a²-1) / (x²-x/a²-a) ?

Answer 1

Vamos lá.

Marcelo, estamos entendendo que a sua expressão (que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa) estaria escrita da seguinte forma (se não for você avisa, ok?).

i) Assim entendido, vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

y = [(a²+a)/(x²+x)] * [(x²-1)/(a²-1)] / [(x²-x)/(a²-a)] ---- efetuando os produtos indicados, teremos:

y = [(a²+a)*(x²-1)/(x²+x)*(a²-1)] / [(x²-x)/(a²-a)]

Agora veja:
- em (a²+a), colocaremos "a" em evidência, ficando: a*(a+1)
- em (x²-1), por ser uma diferença entre 2 quadrados, colocaremos:(x+1)*(x-1);
- em (x²+x), colocaremos "x" em evidência, ficando: x*(x+1)
- em (a²-1), por ser uma diferença entre 2 quadrados, colocaremos: (a+1)*(a-1);
- em (x²-x),colocaremos "x" em evidência, ficando: x*(x-1)
- em (a²-a), colocaremos "a" em evidência, ficando: a*(a-1).

ii) Agora vamos fazer as substituições a que nos referimos aí em cima na nossa expressão "y", ficando da seguinte forma:

y = [a*(a+1)*(x+1)*(x-1)/x*(x+1)*(a+1)*(a-1)] / [x*(x-1)/a*(a-1)]

No numerador, vamos simplificar (a+1) com (a+1) e (x+1) com (x+1), com o que ficaremos apenas com:

y = [a*(x-1)/x*(a-1)] / [x*(x-1)/a*(a-1)] --- veja: temos aqui uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim, iremos ficar da seguinte forma:

y = [a*(x-1)/x*(a-1)]*[(a*(a-1)/x*(x-1)] ---- efetuando o produto indicado, iremos ficar da seguinte forma:

y = [a*(x-1)*a*(a-1)] / [(x*(a-1)*x*(x-1)] ---- finalmente, agora simplificaremos (x-1) e (a-1) do numerador com (x-1) e (a-1) do denominador, com o que iremos ficar apenas com:

y = [a*a] / [ x*x] ----- como a*a = a² e como x*x = x², então ficaremos assim:
y = a² / x² <------ A resposta poderia ficar expressa desta forma. Mas ainda daria pra simplificar ainda mais, bastando saber que "a²/x²" é a mesma coisa que (a/x)². Logo, se simplificarmos ainda mais, iremos ficar com:

y = (a/x)² <--- Esta é a resposta. Ou seja, a expressão da sua questão ficará reduzida ao que acabamos de encontrar, após fazermos todas as simplificações possíveis.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.