Question

Como se sabe, o ângulo entre duas retas, r1 e r2 de coeficientes angulares m1 e m2 é dado por
$\tan( \alpha) = | \frac{m1 - m2}{1 + m1 \times m2} |$
Mostre que se as retas r1 e r2 têm equações gerais dadas por:
$r1: a1x + b1y + c1 = 0 \\ r2 : \: a2x + b2y + c2 = 0$

o ângulo entre elas é dado por

$\tan( \alpha) = | \frac{a1b2 - a2b1}{a1a2 + b1b2} |$

Answer 1

Se as retas r₁ e r₂ têm equações gerais dadas por r₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 e r₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0, então o ângulo entre elas é dado por $tg(\alpha)=|\frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_1a_2+b_1b_2}|$.

A equação de uma reta é dada por y = ax + b, sendo "a" o coeficiente angular e "b" o coeficiente linear.

Então, para determinarmos os coeficientes angulares de r₁ e r₂ precisamos colocar as duas equações na forma y = ax + b.

Sendo assim, temos que:

a₁x + b₁y + c₁ = 0

b₁y = -a₁x - c₁

$y=-\frac{a_1x}{b_1}-\frac{c_1}{b_1}$

ou seja, o coeficiente angular da reta r₁ é $m_1=-\frac{a_1}{b_1}$.

Da mesma forma:

a₂x + b₂y + c₂ = 0

b₂y = -a₂x - c₂

$y=-\frac{a_2x}{b_2}-\frac{c_2}{b_2}$

ou seja, o coeficiente angular da reta r₂ é $m_2=-\frac{a_2}{b_2}$.

Com os valores de m₁ e m₂, basta substituirmos em $tg(\alpha)=|\frac{m_1-m_2}{1+m_1.m_2}|$:

$tg(\alpha)=|\frac{-\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}}{1+(-\frac{a_1}{b_1}).(-\frac{a_2}{b_2})}|$

$tg(\alpha)=|\frac{\frac{-a_1b_2+a_2b_1}{b_1b_2}}{1+\frac{a_1a_2}{b_1b_2}}|$

$tg(\alpha)=|\frac{\frac{a_2b_1-a_1b_2}{b_1b_2}}{\frac{a_1a_2+b_1b_2}{b_1b_2}}|$

$tg(\alpha)=|\frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_1a_2+b_1b_2}|$

como queríamos demonstrar.