Matemática, perguntado por Beatriz121215, 1 ano atrás

Como se resolve x ao quadrado + 13x +40 = 0 no metodo de completar quadrado?

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver a equação do segundo grau - equação quadrática - pelo método "Completar Quadrados", concluímos que seu conjunto solução é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{-8,\,-5\}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

A técnica de completar quadrados é muito importante quando desejamos reescrever uma equação do segundo grau para a forma:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x - x')^{2} + k = 0\end{gathered}$}$

Onde:

$\Large\begin{cases} x' = Raiz\:multiplicidade\:2\\k = Constante\:pertencente\:\mathbb{R}\end{cases}$

Seja a equação do segundo grau:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} + 13x + 40 = 0\end{gathered}$}$

Agora devemos passar o termo independente para o segundo membro:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} + 13x = -40\end{gathered}$}$

Agora devemos adicionar a ambos os membros da equação o quadrado da metade do coeficiente do termo de "x", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} + 13x + \bigg(\frac{13}{2}\bigg)^{2} = -40 + \bigg(\frac{13}{2}\bigg)^{2}\end{gathered}$}$

Resolver as operações e simplificar os cálculos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} + 13x + \frac{13^{2}}{2^{2}} = -40 + \frac{13^{2}}{2^{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} + 13x + \frac{169}{4} = -40 + \frac{169}{4}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} + 13x + \frac{169}{4} = \frac{9}{4}\end{gathered}$}$

Chegando neste ponto devemos escrever de forma fatorada o primeiro membro da equação. Desta forma, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bigg(x + \frac{13}{2}\bigg)^{2 }= \frac{9}{4}\end{gathered}$}$

Como estamos querendo resolver a equação pelo método completar quadrados, então devemos continuar os cálculos, até obtermos as raízes. Então, fazemos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x + \frac{13}{2} = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} - \frac{13}{2}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = \pm\frac{3}{2} - \frac{13}{2}\end{gathered}$}$

Obtendo as raízes, temos:

$\LARGE\begin{cases} x' = -\frac{3}{2} - \frac{13}{2} = \frac{-3 - 13}{2} = -\frac{16}{2} = -8\\x'' = \frac{3}{2} - \frac{13}{2} = \frac{3 - 13}{2} = -\frac{10}{2} = -5\end{cases}$