Question

como se resolve uma equação de fracão

Answer 1

As equações são expressões que utilizam letras na representação de valores desconhecidos. Algumas equações são apresentadas com frações em seu desenvolvimento. Dessa forma, requerem algumas técnicas fundamentais para a resolução. No caso das frações, devemos reduzir os denominadores ao mesmo valor, aplicando o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc). Depois de calculado, devemos dividir o novo denominador pelo anterior e multiplicar o resultado pelo numerador correspondente. 
 Exemplo 1
 2 = x – 1 

x    x + 2

Nesse caso, os denominadores devem ser diferentes de zero, portanto, podemos dizer que:

x ≠ 0 e x ≠ -2

Para resolver a equação fracionária, vamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre os dois denominadores. Feito isso, vamos dividi-lo por cada denominador e multiplicá-lo pelo seu respectivo denominador:

2(x + 2) = x(x – 1)
x(x + 2)    x(x +2)

Como ambos os denominadores são iguais, podemos desconsiderá-los, ficando apenas com:

2(x + 2) = x(x – 1)

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

2x + 4 = x2 – x

Colocando os termos em ordem de um mesmo lado da equação, teremos montada uma equação de segundo grau:

x2 – 3x – 4 = 0

Essa equação possui coeficientes a = 1, b = – 3 e c = – 4. Vamos resolver a equação através da fórmula de Bhaskara:

x = –b ± √[b² – 4ac]
            2a

x = –(–3) ± √[(–3)² – 4.1.(–4)]
     2.1

x = +3 ± √[9 + 16]
     2

x = 3 ± √25
      2

x = 3 ± 5
       2

x' = 3 + 5 = 8 = 4
   2       2

x'' = 3 – 5 = – 2 = –1
 2        2

Portanto, os resultados possíveis são: x = 4 e x = – 1.

 Exemplo 2

 3 = 5 + 1 

2    x    5

Para essa equação, em razão da presença do x no denominador, temos a restrição de que x ≠ 0.

Para iniciarmos a resolução desse exemplo, devemos encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores 2, 5 e x, que é 10x. Vamos então dividir esse termo por cada denominador e multiplicá-lo pelo respectivo numerador:

3.5x = 10.5 + 2x.1
10x           10x     

Como os denominadores são iguais, podemos desconsiderá-los, ficando apenas com:

3.5x = 10.5 + 2x.1

Resolvendo a equação, temos:

15x = 50 + 2x
15x – 2x = 50
13x = 50
x = 50
     13

Portanto, o resultado da equação é 50/13.

Exemplo 3:

   2    +    1    +     2    =     1    
  x        x–2        x+2       x2–4

Vejamos para quais valores de x a equação não está definida:

x ≠ 0
x–2 ≠ 0 → x ≠ 2
x+2 ≠ 0 → x ≠ 2
x2 – 4 ≠ 0 → x2 ≠ 4 → x ≠ 2√4 → x ≠ ±2

Vamos fatorar o último denominador a fim de facilitar nossos cálculos posteriores:

   2    +    1    +     2    =      1     
    x         x–2       x+2    (x+2)(x–2)

Agora é necessário encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores e, em seguida, dividi-lo por cada denominador e multiplicá-lo pelo respectivo numerador:

2.(x+2).(x–2) + 1x.(x+2) + 2x.(x–2) =        1x       
                x(x+2)(x–2)                       x(x+2)(x–2)

Como os denominadores são iguais, podemos desconsiderá-los, restando apenas:

2.(x+2).(x–2) + 1x.(x+2) + 2x.(x–2) = 1x

2(x2–4) +1x.(x+2) + 2x.(x–2) – x = 0

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

2x2 – 8 + x2 + 2x + 2x2 – 4x – x = 0

5x2 – 3x – 8 = 0

Para resolver essa equação do segundo grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara, lembrando que os coeficientes dessa equação são: a = 5, b = – 3 e c = – 8.

x = –b ± √[b² – 4ac]
      2a

x = –(–3) ± √[(–3)² – 4.5.(–8)]
       2.5

x = 3 ± √[9 + 160]
     10

x'= 3 ± √169
      10

x = 3 ± 13
     10

 

x' = 3 +13
      10

x' = 16
      10

x' = 1,6

 

x'' = 3 – 13
       10

x'' = – 10
        10

x'' = – 1

Os resultados possiveis para x são: 1,6 e – 1