Question

como se resolve esta questão:

Um investidor, a partir de determinado capital inicial, vem aumentando o seu patrimônio exponencialmente, segundo a função P = CO . bt, em que P é o valor de seu patrimônio em determinada data, CO é o capital inicial aplicado, b é uma constante e t é o tempo de aplicação em anos. Após um ano, seu patrimônio era de R$ 144.000,00 e, no início do primeiro ano, tempo igual a zero, era de R$ 120.000,00. O valor de seu patrimônio, após exatos quatro anos de aplicação, era de:

OBS.: O "t" na função é uma potencia.

A) R$ 201.600,00.
B) R$ 248.832,00.
C) R$ 288.000,00.
D) R$ 316.800,00.
E) R$ 345.600,00.

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se que a função é dada por:

P = CO*b^(t) 

Na fórmula acima, tem-se que "P" é o patrimônio numa determinada data, tem-se que "CO" é o capital inicial aplicado; tem-se que "b" é uma constante diferente de zero,  e, finalmente, tem-se que "t" é o tempo de aplicação, em anos.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 


i) Vamos tentar encontrar qual o valor da constante "b", pois, quando o tempo era igual a zero (ou seja, t = 0), o patrimônio era de R$ 120.000,00.
Assim, teremos:

120.000 = CO*b⁰ ------ como b⁰ = 1, então teremos que:

120.000 = CO*1
120.000 = CO ----- ou:
CO = 120.000    . (I)


ii) Veja que ainda não deu pra encontrar o valor de "b". Agora vamos ver quando "t" for igual a "1" (após "1" ano), quando, nessa oportunidade, o patrimônio era de R$ 144.000,00. Assim, teremos:

P =  CO*b^(t) ----- substituindo-se "P" por 144.000,  "CO" por 120.000 (conforme encontramos na expressão I), e substituindo-se "t" por "1", teremos:

144.000 = 120.000*b¹ --- ou apenas:
144.000 = 120.000*b ---- ou apenas ainda:
144.000 = 120.000b ---- vamos apenas ordenar, ficando:

120.000b = 144.000
b = 144.000/120.000 --- veja que esta divisão dá "1,2". Assim:

b = 1,2 <--- Este é o valor da constante "b".


iii) Finalmente, agora, vamos para o que está sendo pedido, que é: qual o valor do patrimônio após exatos 4 anos?

Assim, teremos (substituindo-se "CO" por "120.000", substituindo-se "b" por "1,2" e, finalmente, substituindo-se "t" por "4"): 

P = 120.000*(1,2)⁴ ----- veja que (1,2)⁴ = 2,0736. Assim, substituindo-se, temos:

P = 120.000*2,0736 ---- veja que este produto dá 248.832. Assim:

P = 248.832,00 <--- Esta é a resposta. Opção "B".


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.