Question

Como se resolve essa equação irracional do 2° grau disfarçada?

\sqrt{\frac{x^{2} + 3}{x}} - \sqrt{\frac{x}{x^{2} + 3}} = 0

Answer 1

$\displaystyle\sqrt{\frac{x^{2} + 3}{x}} - \sqrt{\frac{x}{x^{2} + 3}} = 0$

Podemos reescrever a equação na forma

$\sqrt{\dfrac{x^{2}+3}{x}}=\sqrt{\dfrac{x}{x^{2}+3}}$

Elevando os dois lados da equação ao quadrado:

$\bigg(\sqrt{\dfrac{x^{2}+3}{x}}\bigg)^{2}=\bigg(\sqrt{\dfrac{x}{x^{2}+3}}\bigg)^{2}\\\\\\\dfrac{x^{2}+3}{x}=\dfrac{x}{x^{2}+3}$

Multiplicando em cruz:

$(x^{2}+3)^{2}=x^{2}\\\\(x^{2}+3)^{2}-x^{2}=0$

Sabemos que $a^{2}-b^{2}=(a+b)\cdot(a-b)$. Então ficamos com

$(x^{2}+3+x)\cdot(x^{2}+3-x)=0\\\\(x^{2}+x+3)\cdot(x^{2}-x+3)=0$

Sabemos que um produto é zero se pelo menos uma das parcelas for zero. Então, vamos precisar resolver duas equações:

$\begin{cases}x^{2}+x+3=0\\x^{2}-x+3=0\end{cases}$

Primeira equação:

$\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot3=1-12=-11\ \textless \ 0$

A equação não possui raízes reais (as duas são complexas)

Na segunda,

$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot3=1-12=-11\ \textless \ 0$

Da mesma forma, as duas dessa equação são complexas.

Logo, concluímos que a equação não possui raízes reais
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Calculando as raízes complexas:

Da primeira opção, temos

$\Delta=-11=(-1)\cdot11=i^{2}\cdot11\,\,\Longrightarrow\,\,\sqrt{\Delta}=\sqrt{i^{2}\cdot11}=i\sqrt{11}\\\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1\pm i\sqrt{11}}{2\cdot1}\begin{cases}x=\dfrac{-1+i\sqrt{11}}{2}\\\\x=\dfrac{-1-i\sqrt{11}}{2}\end{cases}$

Já da segunda,

$\Delta=-11\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\sqrt{\Delta}=i\sqrt{11}\\\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-1)\pm i\sqrt{11}}{2}\begin{cases}x=\dfrac{1+i\sqrt{11}}{2}\\\\x=\dfrac{1-i\sqrt{11}}{2}\end{cases}$


Logo, a equação possui conjunto solução

$\boxed{\boxed{S=\bigg\{\dfrac{-1+i\sqrt{11}}{2},\,\dfrac{-1-i\sqrt{11}}{2},\,\dfrac{1+i\sqrt{11}}{2},\,\dfrac{1-i\sqrt{11}}{2}\bigg\}}}$