Question

Como se realiza o m.m.c. e o m.d.c. de polinômios?
Pode me dar exemplos?​

Answer 1

Explicação passo-a-passo: Primeiro, vamos ver como é o MMC e o MDC entre dois números inteiros positivos e depois passamos para o MMC e o MDC de polinômios:

Para calcular o MMC de dois números inteiros positivos, existem vários métodos, porém, existe um menos conhecido que é pela fatoração canônica:

Seja A e B dois números inteiros positivos, primeiro, vamos fatorar (em números primos) os números A e  B.

$A=p_1^{\alpha_1}.p_2^{\alpha_2}._{...}.p_n^{\alpha_n}\\B=p_1^{\beta_1}.p_2^{\beta_2}._{...}.p_n^{\beta_n}$

O MMC(A,B) é dado por:

$mmc(A,B)=p_1^{max[\alpha_1,\beta_1]}.p_2^{max[\alpha_2,\beta_2]}._{...}.p_n^{max[\alpha_n,\beta_n]}$

Ou seja, o MMC(A,B) é o produto dos fatores primos comuns e não comuns tomados com os seus maiores expoentes.

Para o MDC, será a mesma ideia, porém será o produto dos fatores primos comuns tomados com os seus menores expoentes.

$mdc(A,B)=p_1^{min[\alpha_1,\beta_1]}.p_2^{min[\alpha_2,\beta_2]}._{...}.p_n^{min[\alpha_n,\beta_n]}$

Agora, para realizar o MMC e o MDC de polinômios, a ideia será a mesma, porém, os fatores não serão primos e sim polinômios.

Exemplos:

Calcule o MMC entre os polinômios x^2 - 4 e (x+2)^2

$mmc(x^2-4,(x+2)^2)=?$

Primeiro, iremos fatorar os dois polinômios. Veja que o segundo polinômio já está fatorado, agora, falta fatorar o primeiro. Veja que x^2 - 4 é uma diferença entre quadrados, logo:

$x^2-4=(x+2)(x-2)$

Então, o MMC vai ser o produto entre os fatores tomados com o maior expoente. Veja que qualquer número diferente de 0 elevado a 0, é igual a 1, logo, podemos escrever:

$x^2-4=(x+2)^1.(x-2)^1\\(x+2)^2=(x+2)^2.(x-2)^0$

Agora, vamos analisar quem vai entrar no MMC. Quem é maior 1 ou 2? 2. Logo, (x+2)^2 vai entrar na fatoração do MMC. Quem é maior, 1 ou 0? 1. Logo, (x-2)^1 vai entrar na fatoração do MMC, ficando assim:

$mmc(x^2-4,(x+2)^2)=(x+2)^2.(x-2)$

O MDC será com os fatores de menor expoente, logo, no lugar do (x+2)^2, será o (x+2)^1 e no lugar do (x-2)^1 será o (x-2)^0 = 1.

$mdc(x^2-4,(x+2)^2)=(x+2).(x-2)^0=x+2$

Espero que eu tenha ajudado. Qualquer dúvida é só chamar. Desculpa os exemplos mas não consegui pensar em outros. Bons estudos!!