Question

Como se realiza essa soma 1/(1.2) + 1/(2.3) + 1/(3.4) + ... + 1/(224.225), usando recursos da matemática de nível fundamental, ou seja, primeiro grau?

Answer 1

Resposta:

1/(1*2) +1/(2*3)+1/(3*4) +..+1/(224*225)

Observe:

1/n*(n+1) =1/n - 1/(n+1)   ... n ∈ Z     -    (0 <  n < 225)

=(1 -1/2) + (1/2 -1/3)+ (1/3-1/4) +...+ (1/223-1/224) +(1/224-1/225)

=(1+1/2+1/3+....1/224) - (1/2-1/3-1/224-1/225)

= 1 + (1/2+1/3+....1/224) - (1/2+1/3+....1/224)   -1/225

=1-1/225

= (225-1)/225

= 224/225

Answer 2

Antes de solucionar a questão proposta, convém demonstrar a validade, para todo inteiro positivo n, da seguinte igualdade:

$\mathsf{\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\,\cdots\,+\dfrac{1}{n\cdot \big(n+1\big)}=\dfrac{n}{n+1}\, ,\,n\n\,\in\,\mathbb{N^{*}}.}$

A igualdade acima, em notação compacta, é equivalente a:

$\displaystyle\mathsf{\sum_{k\,=\,1}^{n}\,\dfrac{1}{k\big(k+1\big)\!}=\dfrac{n}{n+1}\,,\,n\,\in\,\mathbb{N^{*}}.}$

Cálculo da Fórmula Fechada:

Partindo da soma situada no lado esquerdo da equação acima, é possível encontrar a fórmula fechada que está no lado direito da respectiva igualdade. Para isso, é necessário ter conhecimento da identidade algébrica

$\mathsf{\dfrac{1}{p\big(p+1\big)}=\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{p+1\!}\, ,\, \forall\ p\,\in\,\mathbb{C^{*}}\setminus\{-1\}.}$

Com isso, a soma estabelecida no primeiro membro da equação inicial equivaler-se-á:

$\mathsf{\displaystyle\quad\sum_{k\,=\,1}^{n}\,\dfrac{1}{k\big(k+1\big)}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\,\cdots\,+\dfrac{1}{n\cdot \big(n+1\big)}}\\\\\\ \mathsf{=\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\,\cdots\,+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}}\right)}\\\\\\ \mathsf{=1+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\right)+\,\cdots\,+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n+1}\qquad(i)}$

Efetuando o "cancelamento telescópico" na soma (i), ela se transforma em

$\mathsf{\quad1-\dfrac{1}{n+1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{n+1}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{n+1-1}{n+1}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{n}{n+1}}\\\\\\ \mathsf{c.q.d.}$

Portanto, é verdade que

$\displaystyle\mathsf{\sum_{k\,=\,1}^{n}\,\dfrac{1}{k\big(k+1\big)\!}=\dfrac{n}{n+1}\, ,\, \forall\ n\,\in\,\mathbb{N^{*}}.}$

Demonstração por Indução:

A igualdade acima também pode ser demonstrada por meio do Princípio da Indução Finita (P.I.F.). Segue abaixo a demonstração por indução.

Base de Indução:

A fórmula é válida para o elemento mínimo n = 1 dos inteiros positivos, pois:

$\mathsf{\dfrac{1}{1\cdot 2}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\quad\checkmark}$

Hipótese de Indução:

Suponha que a fórmula seja válida para um determinado inteiro positivo n = q. Em seguida, deve-se mostrar que a igualdade também verifica-se para n = q + 1. Assim sendo, obtém-se:

$\mathsf{\quad\,\displaystyle\sum_{k\,=\,1}^{q+1}\,\dfrac{1}{k\big(k+1\big)}}\\\\\\ \mathsf=\underbrace{\Bigg[\,{\mathsf{\displaystyle\sum_{k\,=\,1}^{q}\,\dfrac{1}{k\big(k+1\big)}\Bigg]}}}_{\mathsf{\dfrac{q}{q+1}}}{+\mathsf{\dfrac{1}{\big(q+1\big)\!\big(q+2\big)}}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{q}{q+1}+\dfrac{1}{\big(q+1\big)\!\big(q+2\big)}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{\big(q+1\big)\!\big(q+1\big)}{\big(q+1\big)\!\big(q+2\big)}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{q+1}{\big(q+1\big)\!+1}\quad\checkmark}\\\\\\ \mathsf{c.q.d.}$

À vista disso, está provado que a igualdade é verdadeira para n = q + 1. Consequentemente, temos que ela é válida para todo inteiro positivo n, ou seja:

$\displaystyle\mathsf{\sum_{k\,=\,1}^{n}\,\dfrac{1}{k\big(k+1\big)\!}=\dfrac{n}{n+1}\, ,\, \forall\ n\,\in\,\mathbb{N^{*}}.}$

Resolução:

Por fim, para resolver o exercício, basta fazer n = 224 na fórmula acima, e com isso chegar ao resultado final abaixo:

$\mathsf{\qquad\quad\,\displaystyle\sum_{k\,=\,1}^{224}\,\dfrac{1}{k\big(k+1\big)}=\dfrac{224}{224+1}}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\boxed{\mathsf{\displaystyle\sum_{k\,=\,1}^{224}\,\dfrac{1}{k\big(k+1\big)}=\dfrac{224}{225}}}}$

Um grande abraço!