Question

Como se mostra que sen(arc cosx) = cos(arc senx)? Muito obrigada a quem ajudar.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá,

Dada a equação

sen(arc cosx) = cos(arc senx) (1)

vamos aplicar o arc sen de ambos os lados da equação (1), daí:

arc sen [sen(arc cosx)] = arc sen [cos(arc senx)] (2)

Vale lembra que a função arc sen x é a inversa de sen x, logo arc sen (sen x) = x, por esse raciocínio, na equação (2), temos:

Lado esquerdo:

arc sen [sen(arc cos x)] = arc cos x

Lado direito:

arc sen [cos(arc senx)] o que está dentro do colchete cos(arc senx) da equação (1) é igual a sen(arc cosx), daí:

arc sen [cos(arc senx)] = arc sen [sen(arc cosx)] = arc cos x

Como queríamos demonstrar.

Resumindo:

sen(arc cosx) = cos(arc senx)

arc sen [sen(arc cosx)] = arc sen [cos(arc senx)]

arc cos x = arc sen [sen(arc cosx)]

arc cos x = arc cos x

Answer 2

Problema: Mostrar que

    $\mathsf{sen(arccos\,x)=cos(arcsen\,x)\qquad\quad(i)}$

Podemos verificar a igualdade acima geometricamente. Observe a figura em anexo.

Temos um ciclo trigonométrico com origem no ponto O e a abscissa x marcada sobre o ponto M no eixo dos cossenos.

    $\mathsf{med(OM)=x}$

Vou fazer a demonstração para o caso particular em que 0 ≤ x ≤ 1. A demonstração para − 1 ≤ x < 0 é análoga como você vai perceber ao decorrer dessa resposta.

Na circunferência, traçamos uma corda perpendicular ao eixo dos cossenos passando por M.

    As extremidades dessa corda são os pontos A e B.

O triângulo AOB é isósceles pois dois de seus lados são raios da circunferência. Como o segmento AB é perpendicular a OM, temos que OM é uma altura relativa à base AB do triângulo isósceles. Logo, OM divide o triângulo exatamente ao meio, e consequentemente,

    M é o ponto médio do segmento AB.

Então, se segmento AB tem comprimento 2y,

    $\mathsf{med(MB)=y.}$

Considerando o ângulo θ que OM forma com OB, temos que

    $\mathsf{x=cos\,\theta\quad\overset{\theta\in[0,\pi]}\Longrightarrow\quad \theta=arccos\,x}$

e

    $\mathsf{y=sen\,\theta}$

Agora, podemos fazer uma rotação de 90° do triângulo AOB no sentido anti-horário em torno da origem. Assim, obtemos um triângulo A'OB', que é congruente a AOB.

Sendo α o ãngulo indicado na figura 1, temos que

    $\mathsf{sen\,\alpha=x\quad\overset{\alpha\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}{\Longrightarrow}\quad\alpha=arcsen\,x}$

Usando as projeções dos lados do triângulo A'OB' sobre os eixos coordenados, segue diretamente que

    $\mathsf{cos\,\alpha=y}\\\\ \mathsf{cos\,\alpha=sen\,\theta}\\\\ \mathsf{cos(arcsen\,x)=sen(arccos\,x)\qquad\quad\checkmark}$

__________

A demonstração para valores negativos de x é análoga. Nesse caso, o triângulo AOB vai ficar acima do eixo dos cossenos e a rotação deve ser feita no sentido horário. Como os sinais são negativos, podemos precisar usar ângulos auxiliares para facilitar o desenvolvimento.

Considere o ângulo β como indicado na figura 2. Nesse caso, você terá

    $\mathsf{\beta=\dfrac{\pi}{2}+\theta\quad\overset{\beta\in[0,\pi]}{\Longrightarrow}\quad\beta=arccos\,x}\\\\\\ \mathsf{sen\,\beta=y}$

e após a rotação, usando as projeções dos lados do triângulo A'OB' sobre os eixos coordenados, segue diretamente que

    $\begin{array}{rcl} \mathsf{sen(\theta)=-x}\\\\ \mathsf{-\,sen(\theta)=x}\\\\ \mathsf{sen(-\theta)=x}&\quad\overset{-\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}{\Longrightarrow}\quad&\mathsf{-\theta=arcsen\,x} \end{array}$

e segue também que

    $\mathsf{cos(-\theta)=y}\\\\ \mathsf{cos(-\theta)=sen\,\beta}\\\\ \mathsf{cos(arcsen\,x)=sen(arccos\,x)}$

como queríamos demonstrar.

Bons estudos! :-)