Question

Como se faz essa questão sem usar derivadas? A equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x²-6x+1, no ponto (4,-7), é igual a: a) y = -2x+1 b) y = 3x-19 c) y = x-11 d) y=-3x+5 e) y = 2x-15

Answer 1

De antemão, venho dizer que o coeficiente angular ou inclinação da reta tangente à parábola representativa da função quadrática

$\sf f(x)=x^2-6\:\!x+1\qquad(\: i\:)$

no ponto P = (4, – 7) é facilmente obtido por meio da utilização de alguns conceitos de Matemática Básica, e com isso a resolução desse tipo de problema (problemas afins), assim como esta, não se limita ao uso de ferramentas exclusivas do Cálculo Diferencial. Por conseguinte, suponha que a reta r de equação reduzida

$\sf y=m\:\!x+q\qquad(\: ii\:)$

seja tangente à representação gráfica de f(x) = x² – 6x + 1 no ponto P. Sendo assim, para encontrar sua inclinação m e seu coeficiente linear q, vamos primeiramente igualar as equações ( i ) e ( ii ). Igualando, ficaremos com:

$\sf\qquad~~~\:\, x^2-6x+1=m\:\!x+q\\\\ \iff\ \ \ x^2-6x-mx+1-q=0\\\\ \iff\ \ \ x^2-(m+6)\:\!x+1-q=0\qquad (\: iii\:)$

O bizu aqui é fazer com que a equação quadrática ( iii ) tenha uma única solução real (raiz dupla), isso porque supomos inicialmente que r é tangente à parábola no ponto P. Por este motivo, o discriminante Δ (delta) de ( iii ) deve ser igual a 0 (zero). Portanto, podemos escrever:

$\sf \qquad~~~~\Delta= 0\\\\ \implies\ \ \ \big[\!\!-\!(m+6)\big]^2\!-4 \cdot 1\cdot (1-q)=0\qquad\\\\ {\!\!\!\iff\ \ \ \sf (m+6)^2-4\, \cdot (1-q)=0\qquad (\: iv\:)}$

Agora, lembrando que r passa por P = (4, – 7), obtemos:

$\sf\qquad~~~\, -7=4m+q\\\\ \iff\ \ \ -7-4\:\!m=q\\\\ \iff\ \ \ q=-4\:\!m-7\qquad (\: v\:)$

Em seguida, substituindo ( v ) em ( iv ), temos que a incógnita m será calculada da seguinte forma:

$\sf\qquad~~~\:\, (m+6)^2-\, 4\cdot \big[1-(-4m-7)\big]=0\\\\ \iff\ \ \ (m+6)^2-\, 4\cdot (4\:\!m+8)=0\\\\ \iff\ \ \ \,m^2+12\:\!m+36-16\:\!m-32=0\\\\ \iff\ \ \ \, m^2-4m+4=0\\\\ \iff\ \ \ \, m^2-2\cdot m\cdot 2+2^2=0\\\\ \iff\ \ \ (m-2)^2=0\\\\ \iff\ \ \ \,m-2=0\\\\ \iff\ \ \ \boxed{\sf m=2}$

Substituindo m = 2 em ( v ), obtém-se para q o valor:

$\sf\qquad~~~\:\, q=-4\cdot 2-7\\\\ \iff\ \ \ q=-8-7\\\\ \iff\ \ \: \boxed{\sf q=-15}$

E, por fim, a equação desejada será:

$\large\boxed{\boxed{\sf y=2\:\!x-15}}$

Resposta: letra e).