Question

Como se fatora X^4+x^2+1?

Gabarito: (x^2+x+1)(x^2-x+1)

Answer 1

Temos:  x⁴ + x² + 1

Sabemos que:

P1) (a+b)² = a² + 2ab + b²

P2) a²-b² = (a+b).(a-b)

Comparando, observa-se que:

x⁴ + x² + 1

(x²)² + x² + (1)²

Temos quase uma forma fatorada do tipo (x² + 1)², exceto pelo termo central (x²), que deveria estar 2x². Sem problemas, há como manipulá-lo algebricamente para obter essa fatoração, observe:

Pela P1),

(x² + 1)² = (x²)² + 2.x².1 + 1² =  x⁴ + 2x² + 1

- Subtraindo x² de ambos os membros:

(x²+1)² - x² =  x⁴ + 2x² + 1 - x²

(x²+1)² - x² = x⁴ + x² + 1                   -> A igualdade permanece válida

Aplicando a P2), no lado esquerdo da igualdade, vem:

a² - b² = (a+b).(a-b)

(x²+1)² - (x)² = (x²+1+x).(x²+1-x)           -> Reorganizando

                   = (x²+x+1).(x²-x+1)

Logo, está provado que a seguinte igualdade é verdadeira:

(x²+x+1).(x²-x+1) = x⁴ + x² + 1