como se deu o aparecimento dos números complexos
Soluções para a tarefa
Essa história é clássica. A função quadrática já existia a algum tempo, e muitas vezes ela resultava em raízes de números negativos, o que sempre foi considerado um absurdo, assim como os números negativos, pois a^2 ≥ 0, ou assim se acreditava. Logo, sempre nos deparamos com eles, mas os ignorávamos.
A história se resume ao redor da fórmula para encontrar as raízes de um polinômio cúbico(similar a fórmula de Baskara que temos). Existe um longo histórico e discussão sobre quem encontrou essa fórmula primeiro, mas os complexos começam quando Cardan conhece essa fórmula graças a Tartaglia, e a melhorou bastante. Ele podia até mesmo encontrar raízes de polinômios cúbicos contendo x². Porém, eventualmente, ele se deparou com um problema:
x³=15x+4
Ao aplicar em sua fórmula, as raízes envolviam a raíz quadrada de -121, o que era um completo absurdo. Naturalmente, pois nesta época até mesmo os maiores matemáticos mal entendiam os números negativos, e muitos até mesmo os evitavam. Raízes de negativos era algo completamente além da compreensão. Normalmente, ao aparecer a raiz de um negativo, era a forma matemática que usavam para descobrir que uma certa equação não tem solução.
Porém, havia um problema neste caso, pois sabia-se(sabe-se) que o gráfico de uma função de 3o grau TEM que passar pelo eixo x pelo menos uma vez. Logo, tinha que haver com toda certeza uma raiz. Pior, ele percebeu facilmente que x=4 resolvia a solução. Ou seja, toda a matemática mostrava que havia pelo menos uma raiz, graficamente sabia-se que havia uma raiz, por prova sabia-se esta raiz, uma fórmula consagrada afirmava que esta raiz existia, mas para chegar nesta solução, encontrávamos um completo absurdo. Isto foi suficiente para quase enlouquecer Cardan, mas Bombelli, outro matemática do tempo de Cardan, eventualmente resolveria este problema, simplesmente criando um novo número, "raiz de -1", da forma que, aplicado na fórmula de Cardan, as raízes de -1 se cancelavam. Ou seja, saíamos de uma equação sem números complexos, chegávamos num resultado sem números complexos, mas o caminho envolvia passar pelos números complexos. Desta forma, para solucionar as raízes de equações cúbicas, foi necessário aceitar que raiz de -1 (que eventualmente seria chamado de i, e plenamente compreendida graças a Gauss) existia.