Question

Como se deriva x*ln(y) ?

Answer 1

$x*ln(y)+y^3=ln(x)$

derivando ...multiplica tudo por d/dx
$\frac{d}{dx} (x*ln(y))+ \frac{d}{dx} (y^3)= \frac{d}{dx} (ln(x))$

quando vc derivar em relaçao a x fica dx/dx =1
quando derivar em relaçao a y fica dy/dx

$\frac{d}{dx} (x*ln(y))+ \frac{dy}{dx} (3y^2)= \frac{1}{x}$

para derivar
x*ln(y) usa a regra do produto

U = x
U' = 1 dx/dx 

V = ln(y) 
V' = 1/y dy/dx

$U'*V+U*V'\\\\\frac{d}{dx} (x*ln(y))= 1*ln(y) +x* \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} =\boxed{ ln(y)+\frac{x}{y}* \frac{dy}{dx} }$

agora substitui la na em d/dx(x*ln(y))
e coloca dy/dx em evidencia

$ln(y)+\frac{x}{y}* \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} (3y^2)= \frac{1}{x}\\\\ \frac{dy}{dx}( \frac{x}{y}+3y^2) = \frac{1}{x}-ln(y) \\\\\ \frac{dy}{dx}= \frac{\frac{1}{x}-ln(y) }{ \frac{x}{y}+3y^2} \to \boxed{\boxed{ \frac{dy}{dx}= \frac{y-xy*ln(y)}{x^2+3xy^3} }}$

Answer 2

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$\sf (x\cdot\ell n x)'= \ell nx+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ell nx+1$