Question

Como se chegar a relação fundamental ... sen^2 x + cos^2 x = 1 ... Explique com detalhes ... Passo a passo ...

Answer 1

Imagine um triângulo retângulo onde:

hipotenusa = h

cateto oposto = a

cateto adjacente = b

Aplicando Pitágoras, nós temos o seguinte:

a² + b² = h²

Vamos dividir essa equação toda por h² :

a²/h² + b²/h² = h²/h²

Então fica:

(a/h)² + (b/h)² = 1

Olhando a equação, você nota que a/h é igual ao seno de x e b/h é igual ao cosseno de x, porém estão ao quadrado.

Veja:

sen x = a/h

cos x = b/h

Portanto, nós podemos substituir isso na equação:

sen² x + cos² x = 1

Eis então a relação fundamental de trigonometria!

Abraços õ/

Answer 2

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$\tt\underline{ observe~o~ciclo~trigonom\acute etrico~em~anexo.}\\\sf j\acute a~sabemos~do~tri\hat angulo~ret\hat angulo~que~seno~\acute e\\\sf a~relac_{\!\!,}\tilde ao~entre~cateto~oposto~e~hipotenusa.\\\sf al\acute em~disso~sabemos~que~a~medida~para~medir~arcos\\\sf e~\hat angulos~\acute e~a~mesma.\\\sf a~partir~disso~podemos~ tanto~falar~do~seno~do~\hat angulo~x~quanto~do~arco~ST.\\\sf observe~o~tri\hat angulo~PRS.$

$\sf sen(x)=\dfrac{cateto~oposto}{hipotenusa}\\\sf sen(x)=\dfrac{RS}{PS}\\\sf mas~PS=1~portanto\\\sf sen(x)=\dfrac{RS}{1}\implies sen(x)=RS~\boxed{\sf 1}.$

$\sf cos(x)=\dfrac{cateto~adjacente}{hipotenusa}\\\sf cos(x)=\dfrac{PR}{PS}\\\sf cos(x)=\dfrac{PR}{1}\implies cos(x)=PR~\boxed{\sf 2}$

$\tt\underline{no~tri\hat angulo~ret\hat angulo~PRS~aplicando~Pit\acute agoras~temos:}\\\sf RS^2+PR^2=PS^2\\\sf substituindo~\boxed{\sf 1}~e~\boxed{\sf 2}~nesta~igualdade~tem-se:\\\sf [sen(x)]^2+[cos(x)]^2=1^2\\\tt que~podemos~escrever\\\underbrace{\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf sen^2(x)+cos^2(x)=1}}}}}_{\rm Relac_{\!\!,}\tilde ao~fundamental~da~trigonometria}$

$\boxed{\begin{array}{c}\sf a~vantagem~de~trabalhar~no~ciclo~trigonom\acute etrico~\acute e~que\\\sf agora~podemos~falar~em~~relac_{\!\!,}\tilde oes~trigonom\acute etricas~num~arco~qualquer\\\sf inclusive~de~medidas~superiores~a~360^\circ~e~at\acute e\\\sf de~arcos~de~medida~negativa.\\\sf ou~seja~o~estudo~da~trigonometria~a~partir~de~agora~n\tilde ao~se~limita\\\sf somente~a~relac_{\!\!,}\tilde ao~entre~lados~e~\hat angulos~de~um~tri\hat angulo.\end{array}}$