Como se calcula a soma dos termos de uma progressão geométrica. Cite um exemplo.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita
Seja uma P.G. (a1, a2, a3, a4, ..., an) e Sn soma dos seus termos, podemos então escrever:
Para demonstrarmos a fórmula da soma dos termos de uma PG finita, considere a PG finita de n termos:
(1) a1, a2, a3, a4, ..., an
Seja Sn a soma dos n termos desta PG:
(2) Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ..., an.
ou escrevendo-a de outra maneira:
(3) Sn = a1 + a1.q + a1.q² + a1.q³ + ... + a1.q^(n-2) + anq^(n-1).
Sabemos que se multiplicarmos ambos membros de uma igualdade por uma constante, esta igualdade continuará válida. Vamos multiplicar a igualdade (3) por uma constante de valor conveniente q:
(4) Sn.q = a1q + a1.q² + a1.q³ + ... + a1.q^(n-1) + anq^n.
Observando as relações (3) e (4), notamos que a parcela a1 só aparece em (3) e a parcela a1q^n só aparece em (4). As demais parcelas são comuns entre as duas relações. Para que estas parcelas sejam eliminadas, subtraímos (3) de (4):
Snq - Sn = a1q^n - a1
Sn(q - 1) = a1q^n - a1
(5) Sn = (a1q^n - a1)/(q - 1)
Podemos demonstrar (5) aplicando o princípio da indução finita:
(6) Sn = (a1q^n - a1)/(q - 1) = (a1q^(n-1)q - a1)/(q-1) = (an.q - a1)(q-1).
Que é a fórmula para a soma dos n termos de uma PG finita em função de a1, an e q.
Podemos ainda transformar (6) para que esta esteja em função de a1, n e q:
Sabemos que:
(7) an = a1.q^(n-1)
Sn = (an.q - a1)/(q-1).
Sn = (a1.q^(n-1).q - a1)/(q-1)
Sn = (a1.q^n - a1)/(q-1)
(8) Sn = a1.(q^n - 1)/(q - 1).
Exemplo: Qual é o valor da soma dos 10 primeiros termos da PG ( 3, 6, 12, 24,…)?
Resolução:
Temos que a1 = 3, n = 10 e, ao dividir um termo pelo antecessor, vamos encontrar a razão (q = 2).
Assim, a soma dos 10 primeiros termos será:
Sn = a1⋅(q^n - 1)/(q - 1).
S10 = 3⋅(2^10 - 1)/(2 − 1)
S10 = 3⋅(1024 - 1)/(1)
S10 = 3⋅(1023)
S10 = 3029.