Question

Como se calcula a derivada de (cos x)^x? Tentei usar a regra da cadeia e meu resultado deu = x*(cos x)^(x-1) *(-sen x) ... Mas essa não é a resposta do gabarito, nela está >> (cos x)^x * (ln cos x - x*tg x).

Answer 1

Temos que: 
y = (cos x)^x
Aplicando o ln na equação temos:
ln y = ln (cosx)^x 
ln y = x ln cos x
Derivando, utilizando a regra da cadeia temos que:
y´/y = ln cos x + x(-sen x)/cos x 
como y = (cos x)^x
y' = (cos x)^x (ln cosx -xsen x/cos x) 
y' = (cos x)^x (ln cos x - x tg x)
Lembre-se que a derivada de ln y = y'/y, pois é uma derivação implícita e y é uma função de x.
Para derivar (cos x)^x  não se pode aplicar a regra da cadeia pois a mesma só é valida para para funções compostas: f(g(x))' = f'(g(x))g'(x). Porém (cos x)^x é na verdade uma função elevada a outra: f(x) = cos x, g(x) = x formando f(x)^(g(x)).