Question

como se calcula a derivada?

Answer 1

O cálculo de derivadas pode ser feito de duas formas: utilizando a definição de derivada, que envolve um limite que tende a uma indefinição, ou utilizando regras de derivação, cujo funcionamento é garantido pela análise matemática.

Em primeiro lugar, as derivadas, quando existem, determinam a inclinação da reta tangente a uma função f (x). Essa inclinação também é conhecida como taxa de variação e é utilizada para resolver os mais variados tipos de problemas matemáticos. Para determinar essa inclinação, deve-se calcular o limite abaixo. Dessa maneira, f ' (x) é a derivada da função f (x) e diz-se que f (x) é derivável no ponto p.

f ' (x) = lim f (x) – f (p)
x→p x – p

As notações mais utilizadas para a derivada da função f (x) são: f ' (x) ou [f (x)]'. Se essas derivadas forem calculadas no ponto p, as notações passarão a ser: f '(p) ou [f (p)]'.

Calcular esse limite não é grande desafio para funções polinomiais com grau 2 ou 3, uma vez que as propriedades de limites garantem que o limite das somas é igual à soma dos limites e, dessa forma, diante do limite de um polinômio, basta calcular os limites de cada monômio que o formou. Contudo, funções polinomiais de grau muito alto ou outros tipos de funções imprimem um alto grau de dificuldade para o cálculo desse limite. Dessa forma, buscando maior agilidade e facilidade para os cálculos de derivadas, é possível provar os resultados subsequentes, usualmente conhecidos como propriedades das derivadas, ou regras de derivação.

Regras de derivação

Sejam f (x) e g (x) funções deriváveis e seja a um número real qualquer. Então, valem as propriedades:

i) Se f (x) = a, então f ' (x) = 0.



ii) Se f (x) = ax, então f ' (x) = a.

iii) (Regra do tombo) Se f (x) = xa, então f ' (x) = a·xa – 1.

iv) (Derivada da soma) [f (x) + g (x)]' = f ' (x) + g' (x).

v) [af (x)]' = a·f ' (x).

vi) (Regra do produto) [f (x) g (x)]' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x).

vii) (regra do quociente):


Exemplos:

Exemplo 1: Calcule a derivada de f (x) = x3

Pela regra do tombo:

f ' (x) = 3x3 – 1 = 3x2

Exemplo 2: Calcule a derivada de f (x) = 3x4

Pela regra do tombo:

f ' (x) = 4·3x4 – 1

f ' (x) = 12x3

Exemplo 3: Calcule a derivada de f (x) = √x

Pela regra do tombo:

f (x) = x1/2

f ' (x) = 1x1/2 – 1
2

f ' (x) = 1x–1/2
2

f ' (x) = 1
2x1/2

f ' (x) = 1
2√x

Exemplo 4: Calcule a derivada de f (x) = x2·(3x – 1)

Pode-se resolver esse problema pela simplificação do polinômio ou por meio da regra do produto:

f ' (x) = 2x(3x – 1) + x2(3 – 0)

f ' (x) = 6x2 – 2x + 3x2

f ' (x) = 9x2 – 2x

Exemplo 5: Calcule a derivada da função:

d (x) = 4x3 + 1
5x2

No caso da função d (x), temos as funções f (x) = 4x3 + 1 e g (x) = 5x2. Portanto, utilizando a regra do quociente, teremos:


Logo, pela regra do quociente, a derivada da função d (x) é dada por:

d ' (x) = 12x2·5x2 - (4x3 + 1)·10x
(5x2)2