Question

como se acha a fracao geratriz do numero o,252525...

Answer 1

Se chamarmos 0,252525... de "x", temos 100x = 25,252525..

100x - x = 25

99x = 25

x = $\frac{25}{99}$

Answer 2

Manipulando equações:

$x=0,2525...$

Multiplicando os dois lados da equação por 100 (separando o período da dízima):

$100\cdot x=100\cdot0,2525...\\100x=25,2525...\\100x=25+0,2525...$

0,2525... = x:

$100x=25+x\\100x-x=25\\99x=25\\\\\boxed{\boxed{x=\dfrac{25}{99}}}$
__________________________

Por progressão geométrica:

$0,252525... = 0,25 + 0,0025 + ...=\dfrac{25}{10^{2}}+\dfrac{25}{10^{4}}+\dfrac{25}{10^{6}}+...+\dfrac{25}{10^{n}}+...$

Sendo uma P.G de razão com módulo menor que 1, podemos calcular a soma infinita dos termos dessa P.G:

$0,2525...=S_{\infty}=\dfrac{a_{1}}{1-q}\\\\\\0,2525...=\dfrac{(\frac{25}{100})}{1-(\frac{1}{100})}\\\\\\0,2525...=\dfrac{(\frac{25}{100})}{(\frac{100-1}{100})}\\\\\\0,2525...=\dfrac{(\frac{25}{100})}{(\frac{99}{100})}\\\\\\0,2525...=\dfrac{25}{100}\cdot\dfrac{100}{99}\\\\\\\boxed{\boxed{0,2525...=\dfrac{25}{99}}}$