- Como saber se um número é múltiplo de um outro número?
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Explicação passo-a-passo:
Para verificar se um número é múltiplo de outro, basta encontrar um número inteiro de modo que a multiplicação entre eles resulte no primeiro número. Exemplos: a) 35 é múltiplo de 7, pois 35 é igual a 7 multiplicado pelo número inteiro 5. b) 63 é múltiplo de 21, pois 63 é igual a 21 multiplicado pelo número inteiro 3.
Resposta:
Para verificar se um número é múltiplo de outro, basta encontrar um número inteiro de modo que a multiplicação entre eles resulte no primeiro número.
Exemplos:
a) 35 é múltiplo de 7, pois 35 é igual a 7 multiplicado pelo número inteiro 5.
b) 63 é múltiplo de 21, pois 63 é igual a 21 multiplicado pelo número inteiro 3.
c) 22 não é múltiplo de 3, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulte em 22.
Do exemplo a, perceba que m = 35, n = 7 e que o número a determinar a existência é k = 5. O mesmo vale para os demais exemplos. Perceba também que, caso não encontremos o valor de k, podemos afirmar que os números não são múltiplos.
Leia também: Propriedades da multiplicação e da adição para o cálculo mental
Múltiplos de 2
2 ∙ 1 = 2
2 ∙ 2 = 4
2 ∙ 3 = 6
2 ∙ 4 = 8
2 ∙ 5 = 10
2 ∙ 6 = 12
2 ∙ 7 = 14
2 ∙ 8 = 16
2 ∙ 9 = 18
2 ∙ 10 = 20
Da definição de múltiplos, podemos perceber que os números que resultam da multiplicação por 2 são os múltiplos do número inteiro 2. Então, os múltiplos do número 2, que chamamos por M(2), são:
M(2) = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;...}
Múltiplos de 3
3 ∙ 1 = 3
3 ∙ 2 = 6
3 ∙ 3 = 9
3 ∙ 4 = 12
3 ∙ 5 = 15
3 ∙ 6 = 18
3 ∙ 7 = 21
3 ∙ 8 = 24
3 ∙ 9 = 27
3 ∙ 10 = 30
De maneira semelhante, perceba que todos os números que são resultados da multiplicação por 3 são múltiplos do número inteiro 3. Veja:
M(3) = {3;6;9;12;15;18;21;24;27;30;...}
Observação
O número zero pertence ao conjunto dos inteiros e sabemos que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, ou seja, o número zero é múltiplo de todo número inteiro.
0 = 0 ∙ k
As definições de múltiplos e divisores são decorrentes das quatro operações matemáticas básicas.
Divisor de um número inteiro
Conhecidos os números m e n, dizemos que n é divisor de m se n for múltiplo de m, em outras palavras, a divisão de n por m deve deixar resto 0.
Exemplos:
a) 21 é múltiplo de 7, então 7 é divisor de 21.
b) 99 é múltiplo de 11, então 11 é divisor de 99.
c) 12 não é múltiplo de 5, então 5 não é divisor de 12.
Nos exemplos a e b, que trazem as divisões de 21 por 7 e 99 por 11, o resto é igual a 0.
Representamos os divisores de um número da seguinte maneira:
a) Divisores de 2: D(2) = {1;2}
b) Divisores de 3: D(3) = {1;3}
c) Divisores de 20: D(20) = {1;2;4;5;10;20}
Propriedade dos múltiplos e divisores
As propriedades que envolvem múltiplos e divisores estão relacionadas com a divisão de dois números inteiros. Das definições, podemos perceber que, quando um número inteiro é múltiplo de outro, ele também é divisível por esse outro número.
Para as duas primeiras propriedades, tome dois números inteiros N e d e considere o algoritmo.
N = d ∙ q + r, com q e r também naturais
N é o dividendo, d é o divisor, q é o quociente e r é o resto.
Propriedade 1: (N - r) é múltiplo de d, em outras palavras, d é um divisor de (N - r). Logo, (N - r) é o maior número que é menor que N.
Propriedade 2: (N - r + d) é múltiplo de d, em outras palavras, d é um divisor de (N - r + d). Logo, (N - r + d) é o menor número que é maior que N.
Exemplo
Na divisão de 230 por 12, temos o quociente (q) igual a 19 e resto (r) igual a 2. Perceba também que N =230 e d =1 e que, de fato, (230 – 2 +12) = 240, que é divisível por 12.