Question

Como resultado do atrito, a velocidade angular de uma roda muda com o tempo de
acordo com

dθ
dt = ω0 e
−σt

onde ω0 e σ são constantes. A velocidade angular muda de 3,50 rad/s em t = 0 para 2,00 rad/s
em t = 9,30 s.
a) Determine ω0 e σ.
b) Determine o módulo da aceleração angular em t = 3,00 s.
c) Determine o número de revoluções que a roda faz nos primeiros 2,50 s.
d) Determine o número de revoluções que a roda faz antes de chegar ao repouso.

Answer 1

Item A

Para achar as constantes $\omega_0$ e $\sigma$ basta usar as informações dadas pelo problema.

Temos que:

$\displaystyle{\frac{d\theta}{dt} (t)=\omega_0 e^{-\sigma t}}$

$\displaystyle{\frac{d\theta}{dt} (0)=\omega_0 e^{-\sigma \cdot 0}=3.5\text{ rad/s}}$

$\displaystyle{\boxed{\omega_0 =3.5\text{ rad/s}}}$

$\displaystyle{\frac{d\theta}{dt} (9.3)=3.5 e^{-\sigma \cdot 9.3}=2\text{ rad/s}}$

$\displaystyle{ e^{-\sigma \cdot 9.3}=\frac{4}{7}}$

$\displaystyle{ \ln\left(e^{-\sigma \cdot 9.3}\right)=\ln\left(\frac{4}{7}\right)}$

$\displaystyle{ -\sigma \cdot 9.3=\ln\left(\frac{4}{7}\right)}$

$\displaystyle{ \sigma \cdot 9.3=\ln\left(\frac{7}{4}\right)}$

$\displaystyle{ \boxed{\sigma =\frac{10}{93}\ln\left(\frac{7}{4}\right)\text{s}^{-1}}}$

Por fim, temos:

$\displaystyle{\boxed{\frac{d\theta}{dt} (t)=3.5 e^{-\frac{10}{93}\ln\left(\frac{7}{4}\right)t }}}$

Item B

Para achar a aceleração basta derivar em relação ao tempo a função da velocidade.

$\displaystyle{\frac{d^2\theta}{dt^2} (t)=\frac{d}{dt}\left(3.5 e^{-\frac{10}{93}\ln\left(\frac{7}{4}\right)t \right)}}$

$\displaystyle{\frac{d^2\theta}{dt^2} (t)=-\frac{35}{93} \ln\left(\frac{7}{4}\right)e^{-\frac{10}{93}\ln\left(\frac{7}{4}\right)t }}$

Basta agora achar o valor quando t = 3 s:

$\displaystyle{\frac{d^2\theta}{dt^2} (3)=-\frac{35}{93} \ln\left(\frac{7}{4}\right)e^{-\frac{10}{93}\ln\left(\frac{7}{4}\right)\cdot 3 }}$

$\displaystyle{\boxed{\frac{d^2\theta}{dt^2} (3)\approx -0.1758 \text{ rad/s}^2}}$

Item C

Para achar o número de revoluções, vamos integrar a função da velocidade:

$\displaystyle{\frac{d\theta}{dt}=\omega_0 e^{-\sigma t}}$

$\displaystyle{d\theta=\omega_0 e^{-\sigma t}dt}$

$\displaystyle{\int d\theta=\int \omega_0 e^{-\sigma t}dt}$

$\displaystyle{\theta(t)=\frac{ \omega_0}{-\sigma} e^{-\sigma t}+C}$

C é uma constante que depende das condições iniciais. Não temos essa informação, podemos tomar C=0 sem perda de generalidade.

Para achar o número de revoluções nos primeiros 2.5 segundos basta fazer:

$\displaystyle{\frac{1}{2\pi}\left[\theta(2.5)-\theta(0)\right]}$

Dividimos por 2pi pois cada volta é 2pi radianos e a nossa função nos diz o número de radianos que a roda girou.

$\displaystyle{\theta(t)=-\frac{ 651}{20\ln\left(\frac{7}{4}\right)}e^{-\frac{ 10}{93}\ln\left(\frac{7}{4}\right) t}}$

$\displaystyle{\frac{1}{2\pi}\left[-\frac{ 651}{20\ln\left(\frac{7}{4}\right)}e^{-\frac{ 10}{93}\ln\left(\frac{7}{4}\right) \cdot2.5}+\frac{ 651}{20\ln\left(\frac{7}{4}\right)}e^{-\frac{ 10}{93}\ln\left(\frac{7}{4}\right) \cdot0}\right]}$

$\displaystyle{\frac{1}{2\pi}\left[-\frac{ 651}{20\ln\left(\frac{7}{4}\right)}e^{-\frac{ 10}{93}\ln\left(\frac{7}{4}\right) \cdot2.5}+\frac{ 651}{20\ln\left(\frac{7}{4}\right)}\right]\approx1.293}$

Logo a roda faz um pouco mais de 1 revoluções nos primeiros 2,5 segundos.

Item D

Para a roda parar por completo levará um tempo muito longo. Mas o número final de radianos que ela girará será justamente:

$\displaystyle{\frac{1}{2\pi}\left[\theta(\infty)-\theta(0)\right]}$

$\displaystyle{\frac{1}{2\pi}\left[-\frac{ 651}{20\ln\left(\frac{7}{4}\right)}e^{-\frac{ 10}{93}\ln\left(\frac{7}{4}\right) \cdot\infty}+\frac{ 651}{20\ln\left(\frac{7}{4}\right)}e^{-\frac{ 10}{93}\ln\left(\frac{7}{4}\right) \cdot0}\right]}$

$\displaystyle{\frac{1}{2\pi}\left[\frac{ 651}{20\ln\left(\frac{7}{4}\right)}\right]\approx9.257}$

Logo a roda dará pouco mais de 9 voltas antes de parar.