Question

como resolvo os seguintes problemas? (abra a imagem?)

Answer 1

Boa tarde! Seguem as respostas com algumas explicações, para facilitar o entendimento.

6) Conjunto solução, em R, da equação exponencial 0,2^x+1 = √125.

OBSERVAÇÃO: O símbolo ^ significa "elevado a".

0,2^x+1 = √125 (Lembre-se da propriedade da radiciação que diz que todo radical pode ser escrito em forma de potência com expoente fracionário. Lembre-se também de que nesta potência fracionária, o denominador será o índice (número que fica na raiz) e o numerador será o expoente que acompanha o número 125, no caso 1 (125^1 = 125.)

0,2^x+1 = √125 => 0,2^x+1 = 125^1/2

Observe, agora, que o 125 pode ser decomposto em fatores primos:

125 |5

25 |5

  5 |5

  1 | 5.5.5 = 5³

Substituindo 125 por 5³, tem-se que:

0,2^x+1 = 125^1/2 => 0,2^x+1 = (5³)^1/2 =>

Observando o lado esquerdo da equação (1º membro), note que 0,2 pode ser escrito como 1/5, porque a divisão entre 1 e 5 resultará em 0,2. Assim:

0,2^x+1 = (5³)^1/2 => 1/5^x+1 = (5³)^1/2 (Veja que no 1º membro há uma potência de base 1/5 e do outro 5. Para cancelar as bases e trabalhar apenas com os expoentes, tem-se que igualá-las. Para isso, vamos transformar as bases em 5: note que o inverso de 1/5 é 5^-1.)

1/5^x+1 = (5³)^1/2 => (5^-1)^x+1 = (5³)^1/2 (Aplicando a propriedade da potenciação que diz que em uma potência elevada a outra potência, os expoentes se multiplicam.)

(5^-1)^x+1 = (5³)^1/2 => 5^-1.(x+1) = 5^(3.1/2) =>

5^-x-1 = 5^3/2 (A partir do momento em que as bases foram igualadas, trabalha-se apenas com os expoentes.)

-x - 1 = 3/2 => x = -1 - 3/2 (mínimo múltiplo comum entre 1 e 2 é o próprio 2.)

x = (-2 - 3)/2 = -5/2 ou -2,5

Resposta: S={x E R/x = -5/2 ou -2,5} ou S={-5/2}.

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7)O conjunto solução, em R, da equação exponencial 10^x . 10^x+2 = 1000.

10^x . 10^x+2 = 1000 (As bases das potências do 1º membro (lado) da equação são iguais (10), portanto, apenas a do segundo membro deve ser transformada. Assim, lembre-se que 1000 corresponde 10.10.10 = 10³)

10^x . 10^x+2 = 1000 => 10^x . 10^x+2 = 10³ (Aplicando no lado esquerdo a propriedade da potenciação que diz que em uma multiplicação de potência de mesma base, conserva-se a base (10) e somam-se os expoentes.)

10^x . 10^x+2 = 10³ => 10^x+x+2 = 10³ => 10^2x+2 = 10³ (Igualadas as bases nos dois lados, pode-se desconsiderá-las e lidar apenas com os expoentes.)

2x+2 = 10 => 2x = 10 - 2 =>

2x = 8 => x = 8/2 = 4

Resposta: S={x E R/x = 4} ou S={4}.

Espero haver lhe ajudado e bons estudos!