Question

Como resolvo isso com essas fórmulas

sen= b/p
cos= a/p
tg= a/b

p . (cos + i . sen)

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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

O argumento de um número complexo, denotado por φ.

Se medido em radianos, é um número real compreendido entre 0 (inclusive) e 2π. Ou seja:

0 ≤  φ < 2π;

Se medido em graus, é um número real compreendido entre 0º (inclusive) e 360º. Ou seja:

0º ≤ φ < 360º.

Caso o número complexo z esteja escrito na forma algébrica z = x + yi poderemos usar o módulo de z e as relações trigonométricas sugeridas a partir de um triângulo retângulo, como a seguir:

x = |z| cosφ

y = |z| senφ

O que temos que fazer é encontrar o arco  φ que satisfaça essas duas relações, ordenadas como (cosφ, senφ)

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Se a gente considerar o número complexo na forma  z = a+bi  teremos uma forma mais simplificada para nomear essas características.

No vetor teremos o módulo do número complexo, e no ângulo o argumento. Veja na imagem anexa.

Teremos também as duas fórmulas de seno e cosseno, a partir do triângulo retângulo formado.

$cos \theta = \frac{a}{|z|}$

$sen \theta = \frac{b}{|z|}$

Grave bem que a tem a ver com cosseno, e b tem a ver com seno. Similarmente a um número real que tem as coordenadas (x, y), primeiro a abcissa no eixo x e depois a ordenada no eixo y, para um número complexo de coordenadas (a, b), primeiro você olha a abcissa no eixo dos reais, depois a ordenada no eixo dos números imaginários. Repare nos gráficos do seu exercício.

Isolando a e b e substituindo na forma geral z = a +bi obtemos a forma trigonométrica ou forma polar de z:

$z = |z|(cos\theta+i*sen\theta)$

(Cuidado... lá no seu exercício essa fórmula está incompleta...)

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Seu exercício pede o ângulo, que é o argumento, e o vetor (segmento que une o ponto (a, b) à origem do sistema), que é o módulo.

z = a +bi

a) z = 1 + 1i

z = 1 + i

a = 1, b = 1

módulo de z = $|z| = \sqrt{1^{2}+1^{2}} =\sqrt{2}$

$cos\theta = \frac{a}{|z|} =\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{1}{\sqrt{2} } *\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}$

$sen\theta = \frac{b}{|z|} =\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{1}{\sqrt{2} } *\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}$

argumento de z = $(\frac{\sqrt{2}}{2} ,\frac{\sqrt{2} }{2} )$ = $45\° = \frac{\pi}{4}$

Se o exercício pedisse também a forma polar de z, seria:

$z = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{2} }{2}i )$.

Veja que, simplificando, essa equação na forma polar resultaria em z = 1 +i do início, que nada mais é do que a forma algébrica do número complexo.(E isso confirma nosso cálculo.)

A primeira se preocupa com a determinação do ângulo. A segunda com a representação no plano RxI (R cartesiano I), que é o plano de Argand-Gauss.

 

b) z = -3+3i

a = -3, b = 3

módulo de z = $|z| = \sqrt{(-3)^{2}+3^{2}} =\sqrt{9+9}=\sqrt{18} =3\sqrt{2}$

$cos\theta = \frac{a}{|z|} =\frac{-3}{3\sqrt{2} } = -\frac{1}{\sqrt{2} } = -\frac{1}{\sqrt{2} } *\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =-\frac{\sqrt{2} }{2}$

$sen\theta = \frac{b}{|z|} =\frac{3}{3\sqrt{2} } = \frac{1}{\sqrt{2} } = \frac{1}{\sqrt{2} } *\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}$

argumento de z = $(-\frac{\sqrt{2}}{2} ,\frac{\sqrt{2} }{2} )$ = $135\° = \frac{3\pi}{4}$

E a forma trigonométrica ou polar de z seria:

$z = 3\sqrt{2} (-\frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{2} }{2}i )$

Fazendo os cálculos, obtemos a forma algébrica de z...

z = -3 +3i

É isso. Estude bem, até compreender. Depois repasse de memória para lembrar/gravar na memória.

Tudo de bom para você. ^^)

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P.S. Para abrir a imagem em tamanho maior clique sobre ela com o botão direito do mouse e escolha "abrir imagem em uma nova guia".