Question

Como resolvo essa integral?
Tentei por substituição, mas não consegui.
$\int\limits{ \sqrt{ 1+x}/ \sqrt{1 -x} } \, dx$

Answer 1

$\int{\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}}\text{ d}x\\ \\ =\int{\frac{\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}\sqrt{1-x}}}\text{ d}x\\ \\ =\int{\frac{\sqrt{\left(1+x \right)\left(1-x \right )}}{\sqrt{\left(1-x \right )\left(1-x \right )}}}\text{ d}x\\ \\ =\int{\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{\left(1-x \right )^{2}}}}\text{ d}x\\ \\ =\int{\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\left|1-x\right|}}\text{ d}x$


Fazemos então a seguinte substituição trigonométrica:

$\boxed{x=\text{sen }t \Rightarrow \text{d}x=\cos t\text{ d}t}, -\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}\\ \\ \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\text{sen}^{2}t}=\sqrt{\cos^{2}t} \Rightarrow \sqrt{1-x^{2}}=\left|\cos t\right| \Rightarrow \boxed{\sqrt{1-x^{2}}=\cos t}$

pois a função $\cos t$ é sempre não-negativa no intervalo $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$.


Substituindo na integral, temos

$\int{\frac{\cos t}{\left|1-\text{sen }t\right|}}\cos t\text{ d}t\\ \\ =\int{\frac{\cos^{2}t}{\left|1-\text{sen }t\right|}}\text{ d}t$


Precisamos estudar o sinal da função envolvida pelo módulo

$f(t)=1-\text{sen }t$

Verificamos que, no intervalo $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$, esta função é sempre não-negativa. Isto nos permite escrever, para este intervalo

$\left|1-\text{sen }t\right|=1-\text{sen }t$


Voltando a integral, temos então que

$\int{\frac{\cos^{2}t}{\left|1-\text{sen }t\right|}}\text{ d}t\\ \\ =\int{\frac{\cos^{2}t}{1-\text{sen }t}}\text{ d}t\\ \\ =\int{\frac{1-\text{sen}^{2}t}{1-\text{sen }t}}\text{ d}t\\ \\ =\int{\frac{\left(1-\text{sen }t \right )\left(1+\text{sen }t \right )}{1-\text{sen }t}}\text{ d}t\\ \\ =\int{\left(1+\text{sen }t \right)}\text{ d}t\\ \\ =t-\cos t+C$


Para voltar à variável original $x$, basta observarmos a substituição que fizemos:

$x=\text{sen }t \Rightarrow \boxed{t=\text{arcsen}(x)}\\ \\ \boxed{\cos t=\sqrt{1-x^2}}$


Finalmente chegamos a

$\int{\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}}\text{ d}x=t-\cos t+C\\ \\ \boxed{\int{\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}}\text{ d}x=\text{arcsen}(x)-\sqrt{1-x^2}+C}$