Question

Como resolvo essa equação exponencial? vou usar o simbolo ^ para indicar potencia, então quando escrever 5^x, estou me referindo a base 5 na potencia X, segue equação:
5^x - 5^2 . 5^-x= 24

Answer 1

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.

$\Large\red{\boxed{\boxed{\boxed{\sf x = 2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

$\sf 5^x - 5^2 \cdot 5^{-x} = 24$

Lembrando que como não há parêntese, a multiplicação (ou divisão) precede a subtração (ou adição).

Potência com expoente negativo, inverte-se e a potência fica com expoente positivo.

$\pink{\sf OBS \rightarrow 5^{-×} = \dfrac{1}{5^x}}$

Portanto:

$\sf 5^x - 5^2 \cdot 5^{-x} = 24$

$\sf 5^x - 5^2 \cdot \dfrac{1}{5^x} = 24$

$\sf 5^x - \dfrac{5^2}{5^x} = 24$

$\sf 5^x - \dfrac{25}{5^x} = 24$

$\sf \dfrac{(5^x \cdot 5^x) - (25 \cdot 1)}{5^x} = 24$

Multiplicação de potência de mesma base, soma-se os expoentes.

$\pink{\sf OBS_2 \rightarrow 5^x \cdot 5^x = 5^{x + x} = 5^{2x}}$

Portanto:

$\sf \dfrac{(5^x \cdot 5^x) - (25 \cdot 1)}{5^x} = 24$

$\sf \dfrac{5^{2x} - 25}{5^x} = 24$

$\sf 5^{2x} - 25 = 24 \times 5^x$

Concorda comigo, que pelas propriedades de potenciação posso dizer que $\sf 5^{2x} = (5^{2})^x$ ?

Lembrando que a propriedade diz que $\sf (a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Então também posso dizer que $\sf (5^{2})^x = (5^{x})^2$ já que a ordem dos fatores não altera o produto.

Pois bem, nossa equação ficou:

$\sf 5^{2x} - 25 = 24 \times 5^x$

$\large\boxed{\sf (5^{x})^2 - 25 = 24 \times 5^x}$

Fazendo $\sf 5^x = y$ teremos:

$\sf (5^{x})^2 - 25 = 24 \times 5^x$

$\sf y^2 - 25 = 24 \times y$

$\large\boxed{\sf y^2 - 24y - 25 = 0}$

Por bháskara:

$\sf \Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c$

$\sf \Delta = (-24)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (-25)$

$\sf \Delta = 576 + 100$

$\red{\sf \Delta = 676}$

$\sf y = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$\sf y = \dfrac{-b \pm \sqrt{676}}{2a}$

$\sf y = \dfrac{-b \pm 26}{2a}$

$\sf y_1 = \dfrac{-(-24) - 26}{2 \cdot 1}$

$\sf y_1 = \dfrac{24 - 26}{2}$

$\sf y_1 = \dfrac{-2}{2} \rightarrow \large\red{\sf -1}$

____________________________

$\sf y_2 = \dfrac{-(-24) + 26}{2 \cdot (1)}$

$\sf y_2 = \dfrac{24 + 26}{2}$

$\sf y_2 = \dfrac{50}{2} \rightarrow \large\red{\sf 25}$

____________________________

Para finalizar; fizemos $\sf 5^x = y$

Portanto; para os y's teremos:

Substituindo para $\sf y_1$:

$\sf 5^x = y_1$

$\sf 5^x = -1 \red{ \rightarrow N\tilde{a}o~conv\acute{e}m}$

Substituindo para $\sf y_2$:

$\sf 5^x = y_2$

$\sf 5^x = 25$

$\sf 5^x = 5^2$

$\red{\boxed{\boxed{\boxed{\sf x = 2}}}}$

Espero que eu tenho ajudado.

Bons estudos !