Question

como resolver uma equacao de ricatti: y'=1+×^2-2xy+y^2, y=x​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{y=x+\dfrac{1}{C-x},~C\in\mathbb{R}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta equação, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a equação de Riccati:

$y'=1+x^2-2xy+y^2$, cuja solução dada é $y_1=x$.

Considere $y=y_1+\dfrac{1}{v}$, em que $v=v(x)$. Teremos:

$\left(x+\dfrac{1}{v}\right)'=1+x^2-2x\cdot\left(x+\dfrac{1}{v}\right)+\left(x+\dfrac{1}{v}\right)^2$

Calcule a derivada, lembrando que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada implícita de uma função $v=v(x)$ é calculada pela regra da cadeia.

Aplique a regra da soma

$x'+\left(\dfrac{1}{v}\right)'=1+x^2-2x\cdot\left(x+\dfrac{1}{v}\right)+\left(x+\dfrac{1}{v}\right)^2$

Aplique a regra da potência e regra da cadeia. Efetue a propriedade distributiva da multiplicação.

$1-\dfrac{v'}{v^2}=1+x^2-2x^2-\dfrac{2x}{v}+x^2+\dfrac{2x}{v}+\dfrac{1}{v^2}$

Cancele os termos opostos

$1-\dfrac{v'}{v^2}=1+\dfrac{1}{v^2}$

Subtraia $1$ em ambos os lados da equação

$-\dfrac{v'}{v^2}=\dfrac{1}{v^2}$

Multiplique ambos os lados da equação por $-v^2$

$v'=-1$

Integramos ambos os lados da equação

$\displaystyle{\int v'=\int-1\,dx$

Lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral de um diferencial é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int v'=\int\dfrac{dv}{dx}\cdot dx=\int dv=v$.

Calcule as integrais

$v=-x+C$

Dessa forma, substituindo $v$ na expressão inicial, teremos:

$y=x+\dfrac{1}{C-x}$

Esta é a solução desta equação de Riccati.