Question

Como resolver o seguinte problema?
Para o triângulo T = ABC, onde A = (1, 2, 0), B = (−1, 1, 2) e C = (2, 3, −1):
Determine Q = (x, y, z) no segmento BC de modo a satisfazer a condição QA ⊥ BC.

Answer 1

Como o segmento QA é perpendicular ao segmento BC, então podemos afirmar que o produto interno entre os vetores QA e BC é igual a 0.

Sendo A = (1,2,0), B = (-1,1,2), C = (2,3,-1) e D = (x,y,z), temos que:

AQ = (x - 1, y - 2, z)

BC = (3,2,-3).

Assim,

AQ.BC = (x - 1, y - 2, z).(3,2,-3) = 0

3x + 2y - 3z = 7.

Além disso, o ponto Q pertence à reta que passa por B e C.

As equações paramétricas da reta que passa por B e C são:

{x = 2 + 3t

{y = 3 + 2t

{z = -1 - 3t.

Sendo assim, podemos dizer que Q = (2 + 3t, 3 + 2t, -1 - 3t).

Logo,

3(2 + 3t) + 2(3 + 2t) - 3(-1 - 3t) = 7

6 + 9t + 6 + 4t + 3 + 9t = 7

22t = -8

t = -4/11.

Portanto,

x = 2 + 3(-4/11) = 10/11

y = 3 + 2(-4/11) = 25/11

z = -1 - 3(-4/11) = 1/11

ou seja, o ponto Q é igual a Q = (10/11,25/11,1/11).