Question

como resolver o seguinte limite:

√x+2 - √2 ÷ x


x-> 0

Answer 1

$\boxed{ \lim_{x \to0} \frac{ \sqrt{x+2}- \sqrt{2} }{x} }$

é uma indeterminação...

fatorando essa equação é só multiplicar pelo conjulgado

Conjugado de A-B = A+B

assim temos
$\boxed{ \frac{( \sqrt{x+2}- \sqrt{2})*( \sqrt{x+2}+ \sqrt{2}) }{x*( \sqrt{x+2}+ \sqrt{2})} }$

quando vc multiplica pelo conjugado  vc tem uma diferença dos quadrados
porque
$\boxed{(A-B)*(A+B)} = A^2 +AB - BA - B ^2 = \boxed{A^2-B^2}$

neste caso 
A =  √x+2 
B = √2 

o numerador ira ficar 

$( \sqrt{x+2}- \sqrt{2})*( \sqrt{x+2}+ \sqrt{2})\\\\=( \sqrt[\not2]{x+2})^{\not 2} - ( \sqrt[\not2]{2})^{\not 2} \\\\=x+2 - 2 = x$

a expressão fica
$\frac{\not x }{\not x*( \sqrt{x+2}+ \sqrt{2})} =\boxed{ \frac{1 }{( \sqrt{x+2}+ \sqrt{2})} }$

agora aplicando o limite 
$\lim_{x \to 0} \frac{1 }{( \sqrt{x+2}+ \sqrt{2})} = \frac{1 }{( \sqrt{0+2}+ \sqrt{2})} = \frac{1 }{( \sqrt{2}+ \sqrt{2})}= \frac{1}{2 \sqrt{2} }$

se quiser simplificar mais para tirar a raíz do denominador 
é só multiplicar em cima e em baixo por raiz de 2

$\frac{1* \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}* \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2* (\sqrt{2})^2 } = \frac{ \sqrt{2} }{2*2} = \frac{ \sqrt{2} }{4}$