Question

Como resolver log(3x-1) na base 2 - log (x+1) na base 4 = 1/2

Answer 1

$log _{2}(3x-1)-log _{4}(x+1)=1/2$


Condição de existência para o logaritmando: $\begin{cases}3x-1>0~~~~~~~~~~~~x+1>0\\ 3x>1~~~~~~~~~~~~~~~~~x>-1\\ x>1/3\end{cases}$

Como os logaritmos estão em bases diferentes, (4 e 2), vamos passa-los para a menor base, base 2:

$log _{2}(3x-1)- \frac{log _{2}(x+1) }{log _{2}4 }=1/2\\\\ log _{2}(3x-1)- \frac{log _{2}(x+1) }{2}=1/2\\\\ 2*log _{2}(3x-1)-log _{2}(x+1)=2*(1/2)\\\\ 2log _{2}(3x-1)-log _{2}(x+1)=1$

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Usando a p2 (logaritmo do quociente)

$log _{a}b-log _{a}c~\to~log _{a} \frac{b}{c}$

$\frac{2log _{2}(3x-1) }{log _{2}(x+1) }=1$

Usando a definição, vem:

$\frac{2log _{2}(3x-1)}{log _{2}(x+1) }=log _{2}2$

Como as bases são iguais, podemos elimina-las:

$\frac{2(3x-1)}{x+1}=2\\\\ 2(3x-1)=2(x+1)\\ 6x-2=2x+2\\ 6x-2x=2+2\\ 4x=4\\ x=4/4\\ x=1$

Vemos portanto, que não há nenhuma impossibilidade de acordo com a condição de existência, portanto:


$\boxed{S=\{1\}}$


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))