Question

Como resolver esta integral?

Preciso saber a operação que se realiza para resolver esta integral?

x+6/x+1 dx

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Devemos calcular a seguinte integral:

$\displaystyle{\int \dfrac{x+6}{x+1}\,dx}$.

Primeiro, reescrevemos a fração da seguinte maneira: $\dfrac{x+6}{x+1}=\dfrac{x+1+5}{x+1}=1+\dfrac{5}{x+1}$. Assim, teremos:

$\displaystyle{\int 1+\dfrac{5}{x+1}\,dx}$

Aplique a regra da soma: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int 1\,dx+\int\dfrac{5}{x+1}\,dx}$

Aplique a regra da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int1\,dx+5\cdot\int\dfrac{1}{x+1}\,dx}$

Na primeira integral, aplique a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$, sabendo que $1=x^0,~x\neq0$

$\displaystyle{\dfrac{x^{0+1}}{0+1}+C_1+5\cdot\int\dfrac{1}{x+1}\,dx}$

Some os valores no expoente e denominador

$\displaystyle{\dfrac{x^1}{1}+C_1+5\cdot\int\dfrac{1}{x+1}\,dx}\\\\\\ \displaystyle{x+C_1+5\cdot\int\dfrac{1}{x+1}\,dx}$

Faça uma substituição $u=x+1$ e diferencie ambos os lados da igualdade, de modo a substituir o diferencial $dx$:

$(u)'=(x+1)'$

Aplique as regras da cadeia, soma, potência e constante

$\dfrac{du}{dx}=1$

Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial $dx$

$du=dx$

Então, teremos:

$\displaystyle{x+C_1+5\cdot\dfrac{1}{u}\,du}$

Calcule a integral, sabendo que $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C}$

$x+C_1+5\cdot(\ln|u|+C_2)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e desfaça a substituição $u=x+1$

$x+C_1+5\ln|x+1|+5C_2$

Considere $C_1+5C_2=C$, uma constante arbitrária real

$x+5\ln|x+1|+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.