Question

como resolver esta integral

Answer 1

Vejamos: A integral dada precisa ser trabalhada afim de facilitar seu cálculo
Tudo que for feito aqui deve ser levado em consideração seu intervalo de definição que é de 0 a 1
1º passo: (x² = 1)³ = x^6 + 3x^4 + 3x² + 1
Daí teremos: ∫x(x^6+3x^4+3x²+1)dx = ∫x^7 + 3x^5 + 3x³ + x dx =
∫x^7 dx + 3∫x^5 dx + 3∫x³ dx  + ∫xdx =
x^8/8 + 3*(x^6/6) + 3*(x^4/4) + x²/2 = 

[(1^8/8 ) - (0^8/8)] + 3* [(1^6/6) - (0^6/6)] + 3*[(1^4/4-0^4/4)] + [(1²/2 - 0²/2)] 
1/8 + 1/2 + 3/4 + 1/2 = 15/8 ≈ 1,87

                

Answer 2

Temos a integral:

$\int\limits^1_0 {x(x^2+1)} \, dx$

Vamos chamar x²+1 de u, assim:

u = x² + 1
du = 2x*dx

$\frac{du}{2} =xdx$

Vamos substituir o que encontramos na integral:

$\int\limits^1_0 { \frac{u^3}{2} } \, du = \frac{1}{2} \int\limits^1_0 {u^3} \, du$

Como mudamos x para u, vamos achar novos limites de integração

u = x² + 1, para x=1

u = (1)² + 1 = 2

para x = 0

u = (0)² + 1
u = 1

Agora temos:

$\frac{1}{2} \int\limits^2_1 {u^3} \, du$

Integrando...

$\frac{1}{2} *\frac{u^4}{4} = \frac{u^4}{8} ]^2_1$

$\frac{2^4}{8} - \frac{1^4}{8} = \frac{16}{8} - \frac{1}{8} = \frac{15}{8}$