Question

como resolver esta inequações_ - quociente. (x-2).(4 -x)<0

Answer 1

Vamos lá.

Laís, a inequação da sua questão é do tipo "inequação-produto" e não "inequação-quociente" como você escreveu.
Assim, considerando que a escrita da expressão é de uma inequação-produto, teremos;

(x-2)*(4-x) < 0

Veja: aí em cima temos o produto entre duas equações do 1º grau, cujo resultado terá que ser MENOR do que zero (ou seja, terá que ser negativo).
Temos f(x) = x - 2 e temos g(x) = 4 - x.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas. Finalmente, concluiremos qual o intervalo que dará o domínio da inequação-produto inicialmente dada.
Assim teremos:

f(x) = x - 2 -----> raízes: x - 2 = 0 ---> x = 2
g(x) = 4 - x ---> raízes: 4 - x = 0 ---> - x = - 4 ---> x = 4

Agora vamos estudar a variação de sinais de f(x) e g(x) em função de suas raízes. Assim:

a) f(x) = x - 2 ... - - - - - - - - - (2)+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = 4 - x...+ + + + + + + + + + + + + +  (4) - - - - - - - - - - - - - -
c) a * b . . . . . .- - - - - - - - - -(2)+ + + + + + (4) - - - - - - - - - - - - - -

Como queremos que f(x) * g(x) seja MENOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto de f(x) por g(x). Assim, os intervalos de domínio da inequação-produto dada serão estes:

x < 2, ou x > 4

Se você quiser, poderá apresentar o domínio da seguinte forma, o que quer dizer o mesmo:

D = {x ∈ R | x < 2, ou x > 4}.

Ou, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado do seguinte modo, o que é a mesma coisa:

D = (-∞; 2) ∪ (4; +∞)

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.