Question

Como resolver esta equação modular?:
|x²-3x+2|=|2x-3|

Answer 1

Oi Yasyus.

A regra dos módulos diz que:

$|x|=k\quad \Leftrightarrow \quad x=k\quad ou\quad x=-k$

Sabendo isso podemos entender essa equação da seguinte maneira:

$|x^{ 2 }-3x+2|=|2x-3|\\ \\ |x^{ 2 }-3x+2|=-2x+3\quad ou\quad |x^{ 2 }-3x+2|=2x-3$

Agora é só resolver as duas equações.

Resolvendo a primeira.

$x^{ 2 }-3x+2=2x-3\\ x^{ 2 }-3x-2x+2+3=0\\ x^{ 2 }-5x+5=0\\ \\ \Delta =b^{ 2 }-4ac\\ \Delta =(-5)^{ 2 }-4*1*5\\ \Delta =25-20\\ \Delta =5\\ \\ \frac { -b\pm \sqrt { 5 } }{ 2 } \rightarrow x^1=\frac { 5+\sqrt { 5 } }{ 2 } \\ \\ x^2=\frac { 5-\sqrt { 5 } }{ 2 }$

Resolvendo a segunda:

$x^{ 2 }-3x+2=-2x+3\\ x^{ 2 }-3x+2x+2-3=0\\ x^{ 2 }-x-1=0\\ \\ \Delta =b^{ 2 }-4ac\\ \Delta =(-1)^{ 2 }-4*1*(-1)\\ \Delta =1+4\\ \Delta =5\\ \\ \frac { -b\pm \sqrt { 5 } }{ 2 } \rightarrow x^1=\frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } \\ \\ x^2=\frac { 1-\sqrt { 5 } }{ 2 }$

Então temos como solução:

$S=\{ \frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } ,\frac { 1-\sqrt { 5 } }{ 2 } ,\frac { 5+\sqrt { 5 } }{ 2 } ,\frac { 5-\sqrt { 5 } }{ 2 } \}$