Question

Como resolver esse tipo de questão?

Answer 1

$\large\textbf{ Resultado~da~express\tilde{a}o }\Rightarrow\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt~\boxed{\boxed{4}}\checkmark\end{gathered} }$

_______________________________

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt~\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}\end{gathered} }$

• 1⁰ passo: Racionalizar o denominador do radicando do 1⁰ membro da expressão, multiplicando numerador e denominador por $2+\sqrt{3}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt~\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\end{gathered} }$

• 2⁰ passo: Reorganizar a expressão. Para multiplicarmos duas frações, multiplicamos os numeradores e denominadores separados.

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt~\frac{(2+\sqrt{3})\cdot(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})}\end{gathered} }$

• 3⁰ passo: Usando o seguinte Produto Notável: “produto da soma pela diferença de dois termos”, Simplificamos o produto do denominador do 1⁰ membro da expressão e assim, temos:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt~\boxed{\boxed{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}}\bigstar\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt~\frac{(2+\sqrt{3})\cdot(2+\sqrt{3})}{4-3=1}\Rightarrow(2+\sqrt{3})\cdot(2+\sqrt{3})~\checkmark\end{gathered} }$

• 4⁰ passo: Racionalizar o denominador do radicando do segundo membro da expressão, multiplicando numerador e denominador por $2-\sqrt{3}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt~\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\end{gathered} }$

• 5⁰ passo: Reorganizar a expressão. Seguir o 2⁰ passo e após, seguir o 3⁰ passo, descritos acima:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt~\frac{(2-\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})\cdot(2+\sqrt{3})} \Rightarrow\frac{(2-\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})}{4-3=1}\Rightarrow(2-\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})~\checkmark\end{gathered} }$

• 6⁰ passo: expandir a expressão na forma de soma:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt~\sqrt{(2+\sqrt{3})\cdot(2+\sqrt{3})}+\sqrt{(2-\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})}~\checkmark\end{gathered} }$

• 7⁰ passo: Escrevemos a multiplicação dos radicandos de ambos os membros da expressão na forma de notação exponencial e Simplificamos os índices da raíz e do expoente dividindo ambos por 2:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt~\sqrt[\diagup\!\!\!\!2]{(2+\sqrt{3})^{\diagup\!\!\!\!2}}+\sqrt[\diagup\!\!\!\!2]{(2-\sqrt{3})^{\diagup\!\!\!\!2}}~\checkmark\end{gathered} }$

Ficando da seguinte forma:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\tt~2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}\end{gathered}$

• 8⁰ passo: Dado que a soma de dois opostos resulta em zero, removemos da expressão:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\tt~2+\diagup\!\!\!\!\!\!\sqrt{3}+2-\diagup\!\!\!\!\!\!\sqrt{3}~\checkmark\end{gathered}$

• 9⁰ passo: Nos restou apenas 2 + 2, logo, somamos seus valores e obtemos o resultado da expressão dada inicialmente:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt~2+2=\boxed{\boxed{4}}~\checkmark\end{gathered} }$

Bons estudos!

Answer 2

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf{ \sqrt{ \frac{2 + \sqrt{3} }{2 - \sqrt{3} } } + \sqrt{ \frac{2 - \sqrt{3} }{2 + \sqrt{3} } } } \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf{ \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot(2 + \sqrt{3}) } + \sqrt{ \frac{2 - \sqrt{3} }{2 + \sqrt{3} } } } \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf{ \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot(2 + \sqrt{3} )} + \sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot(2 - \sqrt{3} ) } } \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf{ \sqrt{(2 + \sqrt{3}) {}^{2} } + \sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot(2 - \sqrt{3} ) } } \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf{ \sqrt{(2 + \sqrt{3}) {}^{2} } + \sqrt{(2 - \sqrt{3}) {}^{2} } } \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf{ 2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} } \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf{ 2 + 2 } \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf{ 4 \,\checkmark } \end{gathered}$