Question

Como resolver esse limite?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Leledacruz, que a resolução é simples.
Pede-se  o limite da seguinte expressão:

lim (x+1)/[√(6x²+3) + 3x]
x--> -1

Note: se formos substituir o "x" diretamente por "-1" iremos encontrar algo como "0/0", o que é uma indeterminação. Então deveremos levantar essa indeterminação.
Uma forma de levantar essa indeterminação seria encontrar, SEPARADAMENTE, a derivada primeira do numerador e do denominador, respectivamente. E, após isso, ver se a indeterminação ainda perduraria ou não, quando você substituir o "x' por "-1".
Então vamos fazer isso;

i) Encontrando a derivada primeira do numerador, que é (x+1). Derivando, vamos encontrar "1".

ii) Encontrando a derivada primeira do denominador, que é:

√(6x²+3) + 3x ----- vamos substituir √(6x²+3) por (6x²+3)¹/². Assim, teremos;

(6x²+3)¹/² + 3x ----- encontrando a derivada primeira, teremos:
(1/2)*(6x²+3)⁻¹/² * 12x + 3 ---- veja: que isto é a mesma coisa que:
(1/2)*12x/[(6x²+3)¹/²] + 3 ---- note que (1/2)*12x = 6x; e (6x²+3) = √(6x²+3). Logo:
6x/[√(6x²+3)] + 3  <--- Esta é a derivada primeira do denominador.
 
iii) Levando numerador e denominador, já devidamente derivados, para a expressão do limite. Assim, ficaremos com:

lim (1)/{[6x/√(6x²+3)] + 3}
x--> -1

Veja que, agora, já poderemos substituir o "x" por "-1" e já não teremos mais a indeterminação. Assim, fazendo isso, teremos:

1 / {6*(-1)/√(6*(-1)² + 3)] + 3} = 1 / {-6/√(6+3)] + 3} =
= 1 / {[-6/√(9)] + 3} = 1 / [-6/3] + 3} = 1 / {-2 + 3} = 1/1 = 1 <-- Esta é a resposta. Este é o limite pedido da expressão original, quando "x" tende pra (-1).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.