Question

Como resolver essa integral?? Obrigado.

Answer 1

Temos que levar em conta as propriedades de simetria para funções par e ímpar. Ou seja, se

Se f(x) é ímpar, então $\bf \displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)~dx=0$

Se f(x) é par, então $\bf \bf \displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)~dx=\displaystyle2\int_{0}^{a}f(x)~dx$

Tendo em vista as propriedades em cima, podemos separar a integral em duas integrais e analisar as funções. Logo,

$\bf \displaystyle\int_{-1}^{1}x^5-6x^9~dx$

Verificaremos se a função é ímpar, substituindo o - x na função. Então,

$\bf f(-x)=(-x)^5-6(-x)^9\\ \\ f(-x)=-x^5+6x^9$

Note que as funções são diferente, logo trata-se de uma função ímpar. Por definição,

$\bf \displaystyle\int_{-1}^{1}x^5-6x^9~dx=0$

Agora vamos analisar a segunda integral, onde

$\bf \displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{sen~x}{(1+x^4)^2}~dx$

Vem que,

$\bf f(-x)=\dfrac{sen~(-x)}{(1+(-x)^4)^2}\\ \\ \\ f(-x)=-\dfrac{sen~x}{(1+x^4)^2}$

Note que a função não é a mesma, portanto, o valor da segunda integral também é zero. Contudo,

$\boxed{\bf \displaystyle\int_{-1}^{1}\big(x^5-6x^9~+ \frac{sen~x}{(1+x^4)^2}~\big)~dx=0}~\checkmark$