Question

Como resolver essa Integral dupla 2xy dx + (1+x²) dy=0

Answer 1

Resposta:

2xy dx + (1+x²) dy=0  

2xy dx = - (1+x²) dy

(2x)/(1+x²) dx = -1/y   dy

∫(2x)/(1+x²) dx = - ∫1/y   dy

##∫(2x)/(1+x²) dx

fazendo u =1+x²  ==>du=2x dx

∫(2x)/(u) du/2x

∫ 1/u du  = ln|u|

Como u = 1+x²  , ficamos com ln |1+x²|   , 1+x² sempre será positivo

∫(2x)/(u) du/2x  =ln (1+x²) + c'

# - ∫1/y   dy

=-ln|y| + c''

c=c'-c''

ln (1+x²) =-ln|y| + c     ...fazendo c = ln c₁   .....c₁>0

ln (1+x²) =-ln|y| + ln c₁

ln (1+x²) = ln (c₁/|y|)

1+x² = c₁/|y|

|y| =c₁/(1+x²)             ...como c₁/(1+x²)  >0 , podemos tirar o módulo de |y|

y = c₁/(1+x²)   é a resposta