Question

Como resolver essa integral? (a≠b)

Answer 1

Pretendemos calcular o integral:

$\displaystyle \int \dfrac{\textrm{d}x}{(x+a)(x+b)}, \quad\textrm{com } a \neq b.$

Começamos por decompor a integranda em frações parciais, ou seja, vamos escrevê-la na forma:

$\dfrac{1}{(x+a)(x+b)} = \dfrac{A}{x+a} + \dfrac{B}{x+b}, \quad\textrm{com } A, B \in \mathbb{R}.$

Podemos então escrever ainda:

$1 = \dfrac{A}{x+a}(x+a)(x+b) + \dfrac{B}{x+b}(x+a)(x+b) \iff 1 = A(x+b) + B(x+a).$

Notamos agora que os coeficientes $A$ e $B$ devem ser iguais para quaisquer valores de $x$. Podemos então usar por exemplo $-a$ e $-b$:

$x = -a \implies 1 = A(-a+b) + B(-a+a) \iff A = \dfrac{1}{b-a}.$

$x = -b \implies 1 = A(-b+b) + B(-b+a) \iff B = \dfrac{1}{a-b}.$

Portanto, obtemos:

$\dfrac{1}{(x+a)(x+b)} = \dfrac{A}{x+a} + \dfrac{B}{x+b} =\\\\= \dfrac{1}{b-a}\dfrac{1}{x+a} + \dfrac{1}{a-b}\dfrac{1}{x+b} = \dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{x+a} - \dfrac{1}{x+b}\right).$

O integral é agora simples:

$\displaystyle \int \dfrac{\textrm{d}x}{(x+a)(x+b)} = \dfrac{1}{b-a}\int\left(\dfrac{1}{x+a} - \dfrac{1}{x+b}\right)\textrm{d}x =\\\\= \dfrac{1}{b-a}\left(\int\dfrac{\textrm{d}x}{x+a} - \int\dfrac{\textrm{d}x}{x+b}\right) = \dfrac{1}{b-a}\left(\log|x+a| - \log|x+b|\right) = \\\\= \dfrac{1}{b-a}\log\left|\dfrac{x+a}{x+b}\right|.$

Resposta: $\displaystyle \boxed{\int \dfrac{\textrm{d}x}{(x+a)(x+b)} = \dfrac{1}{b-a}\log\left|\dfrac{x+a}{x+b}\right|}.$