Question

Como resolver essa integral?

Answer 1

Fazendo que

$x = 9 \ \tan ( \alpha )$

Então

$dx = 9 { \sec }^{2} ( \alpha )d \alpha$

$\sqrt{ {x}^{2} + 81} = \sqrt{81( { \tan }^{2} ( \alpha )+ 1)} = 9 \sec( \alpha )$

Substituindo no integral

$∫ \frac{ 9 { \sec }^{2} ( \alpha )d \alpha }{9 \sec( \alpha ) } = ∫ \sec( \alpha ) d \alpha = ln( \sec( \alpha ) + \tan( \alpha ) ) + c$

Sabendo que

$\tan( \alpha ) = \frac{x}{9} \\ \sec( \alpha ) = \frac{ \sqrt{ {x}^{2} + 81} }{9}$

$ln(\frac{ \sqrt{ {x}^{2} + 81} + x}{9} ) + c$