Question

Como resolver essa inequação-produto (-4x^2+2x-1).(x^2-6x+8) >_0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, amigo, que a resolução é simples.
Pede-se para resolver a seguinte inequação-produto:

(-4x²+2x-1)*(x²-6x+8) ≥ 0

Veja que temos aí em cima uma inequação-produto constituída pelo produto de duas equações do 2º grau. Temos f(x) = - 4x²+2x-1 e g(x) = x²-6x+8.

Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, analisaremos a variação de sinais de cada uma delas e, finalmente, daremos o conjunto-solução (domínio) da inequação originalmente dada. Assim:

f(x) = - 4x²+2x-1 ---: raízes: -4x²+2x-1 = 0 <--- Note: esta equação tem o seu delta (b²-4ac) menor do que zero. Isto significa que ela NÃO tem raízes reais (mas apenas raízes complexas). E como o termo "a" é negativo (o termo "a" é o coeficiente de x²), então esta equação será SEMPRE NEGATIVA para qualquer que seja o valor que "x" venha a assumir.

g(x) = x²-6x+8 ---> raízes: x²-6x+8 = 0 ---> x' = 2; x'' = 4.

Agora vamos analisar a variação de sinais de cada uma delas e, no fim, daremos o domínio da inequação-produto original. Assim:

a) f(x) = -x²+2x-1... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) g(x) = x²-6x+8... + + + + + + (2)- - - - - - - - - - (4)+ + + + + + + + + + + +
c) a*b. . . . . . . . . . . - - - - - - - - (2)+ ++ + + + + + (4)- - - - - - - - - - - - - - - - -

Como queremos que a inequação-produto seja MAIOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS ou IGUAL a zero no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto de f(x) por g(x).
Assim, o conjunto-solução (domínio) da inequação original será este:

2 ≤ x ≤ 4 -------- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 4}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução (domínio) da inequação dada poderá ser apresentado do seguinte modo, o que significa o mesmo:

D = [2; 4] .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.