Question

Como resolver equação diferencial:
y'+3x^2 y=6x^2

Answer 1

Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem. Nesse caso ela é completa pois é da forma:

$\frac{dy}{dx} + Py = q$  então, vamos deixar da forma:

$\frac{dy}{dx} + 3x^{2}y=6 x^{2}$

Temos que determinar um fator integrante e multiplica-lo por cada parte da equação:

O fator integrante ρ é dado por: 

ρ = $e^{ \int\ {p} \, dx }$

Olhando a equação, temos que P = 3x²

Então:

ρ = $e^{ \int\ {3 x^{2} } \, dx } = e^{ \frac{3 x^{3} }{3} } = e^{ x^{3} }$

Agora, multiplicamos toda a equação por ρ

$e^{ x^{3} } \frac{dy}{dx} + e^{ x^{3} }3x^{2}y=e^{ x^{3} }6 x^{2}$

Se observarmos bem, veremos que $e^{ x^{3} } \frac{dy}{dx} + e^{ x^{3} }3x^{2}y$ na verdade é a derivada do produto entre y e o fator integrante ρ, veja:

$\frac{d(y. e^{ x^{3} } )}{dx} = \frac{dy}{dx} . e^{ x^{3} }+ y . e^{ x^{3} }. 3 x^{2}$

Então podemos substituir da seguinte forma:

$e^{ x^{3} } \frac{dy}{dx} + e^{ x^{3} }3x^{2}y=e^{ x^{3} }6 x^{2} \\ \frac{d(y.e^{ x^{3} })}{dx} = e^{ x^{3} }6 x^{2}$

Agora, ´para resolver, usaremos o método das variáveis separadas:

$[\frac{d(y.e^{ x^{3} })}{dx} = e^{ x^{3} }6 x^{2} ] .(dx) \\ d(y.e^{ x^{3} }) = e^{ x^{3} }6 x^{2}(dx)$

Agora, podemos integrar dos dois lados:

$\int\ {d(y.e^{ x^{3} })} \, = \int\ e^{ x^{3} }6 x^{2} \, dx$

*Integral da derivada de uma função é a própria função. logo:

$y.e^{ x^{3} } = \int\ e^{ x^{3} }6 x^{2} \, dx$

Para resolver a ultima integral usamos o método da substituição:

$y.e^{ x^{3} } = \int\ e^{ x^{3} }6 x^{2} \, dx \\ y.e^{ x^{3} } = 6\int\ e^{ x^{3} } x^{2} \, dx \\ \\ u= x^{3} \\ du=3 x^2} dx \\ \\ y.e^{ x^{3} } = 6 . \frac{1}{3} \int\ e^{ u } 3x^{2} \, dx \\ y.e^{ x^{3} } = 2 \int\ e^{ u } \, du \\ y.e^{ x^{3} }=2. [e^{u}+C] \\ y.e^{ x^{3} }=2. [e^{ x^{3} }+C] \\ y.e^{ x^{3} }=2e^{ x^{3} }+2C \\ y = \frac{2e^{ x^{3} }}{e^{ x^{3} }}+ \frac{k}{e^{ x^{3} }} \\ \\ y=2+ke^{ -x^{3} }$

Portanto:

$y(x)=2+ke^{ -x^{3} }$

Espero ter ajudado