Question

Como resolver detalhado e resultado final. ajudem ai por favor. Sabendo que Sen=x1/5 com 0

Answer 1

Equação trigonométrica.

Antes de resolvermos, vamos relembrar algumas relações trigonométricas.

• Tangente :

$Tg(x) = \frac{Sen(x)}{Cos(x)}$

• Relação fundamental da trigonometria :

$Sen^2(x) + Cos^2(x) = 1$

• Soma/subtração dos arcos Tangente :

$Tg(x+y) = \frac{Tg(x)+Tg(y)}{1-Tg(x).Tg(y)}$

$Tg(x -y ) = \frac{Tg(x)-Tg(x)}{1+Tg(x).Tg(y)}$

A questão nos informa :

$Sen(x) = \frac{1}{5}$, $( 0<x<\frac{\pi}{2} )$, ou seja, primeiro quadrante.  

E nos pede :

$Tg ( \frac{\pi}{4} - x )$

Então vamos abrir o arco subtração da tangente.

$Tg(\frac{\pi}{4} -x ) = \frac{Tg(\frac{\pi}{4})-Tg(x)}{1+Tg(\frac{\pi}{4}).Tg(x)}$

Lembrando que $\pi = 180$º, logo $\frac{\pi}{4} = 45$, e sabemos que :

$Tg(45) = 1$.

substituindo :  

$Tg(\frac{\pi}{4} -x ) = \frac{Tg(\frac{\pi}{4})-Tg(x)}{1+Tg(\frac{\pi}{4}).Tg(x)}$

$Tg(45-x)= \frac{1-Tg(x)}{1+1.Tg(x)}$

Agora só precisamos achar a Tg(x), vamos acha-lá

Sabendo que :

$Tg(x) = \frac{Sen(x)}{Cos(x)}$

nós já temos o seno. Substituindo :

$Tg(x) = \frac{\frac{1}{5}}{Cos(x)}$

e agora só precisamos do Cos(x).

Usando a relação fundamental da trigonometria, temos que :

$Sen^2(x) + Cos^2(x) = 1$

substituindo o valor de Sen(x)

$(\frac{1}{5})^2 + Cos^2(x) = 1$

$\frac{1}{25} + Cos^2(x)= 1$

$Cos^2(x) = 1 - \frac{1}{25}$

$Cos^2(x) = \frac{24}{25}$

$Cos(x) = \pm \sqrt{\frac{24}{25}}$

$Cos(x) = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}$

Lembrando que o intervalo do ângulo é $0<x<\frac{\pi}{2}$ (1º quadrante) e o Cosseno no 1º quadrante é positivo, então usaremos a parte positiva da resposta

$Cos(x) = + \frac{2\sqrt{6}}{5}$

Agora vamos voltar na equação da Tg(x) e substituir os valores. $Tg(x) = \frac{\frac{1}{5}}{Cos(x)}$

$Tg(x) = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{2.\sqrt{6}}{5}}$

(divisão de frações, repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda)

$Tg(x) = \frac{1}{5}. \frac{5}{2.\sqrt{6}}$

$Tg(x) = \frac{1}{2.\sqrt{6}}$

Racionalizando

$Tg(x) = \frac{\sqrt{6}}{2.\sqrt{6}.\sqrt{6}}$

$Tg(x) = \frac{\sqrt{6}}{12}$

Sabendo Tg(x) podemos achar o que a questão nos pede, voltando pra equação original :

$Tg(45-x)= \frac{1-Tg(x)}{1+1.Tg(x)}$

substituindo o valor da tangente :

$Tg(45-x) = \frac{1-\frac{\sqrt{6}}{12}}{1+\frac{\sqrt{6}}{12}}}$

$Tg(45-x) = \frac{\frac{12 -\sqrt{6}}{12}}{\frac{12 +\sqrt{6}}{12}}}$

$Tg(45-x) = \frac{12 -\sqrt{6}}{12 +\sqrt{6}}}}$

Racionalizando :

$Tg(45-x) = \frac{12-\sqrt{6}}{12 + \sqrt{6}}.\frac{(12 - \sqrt{6})}{(12 - \sqrt{6})}$

note que no numerador teremos o produto notável $(a-b)^2 = a^2-2.ab + b^2$, onde $a = 12$ e $b = \sqrt{6}$

e no denominador teremos o produto notável $(z+k).(z-k) = z^2 - k^2$, onde

$z = 12$ e $k = \sqrt{6}$

Substituindo direto, os respectivos produtos notáveis :

$Tg(45-x) = \frac{12-\sqrt{6}}{12 + \sqrt{6}}.\frac{(12 - \sqrt{6})}{(12 - \sqrt{6})}$

$Tg(45-x) = \frac{12^2-2.12.\sqrt{6}+(\sqrt{6})^2 }{12^2 - (\sqrt{6})^2}$

$Tg(45-x) = \frac{144-24.\sqrt{6} + 6 }{144 - 6 }$

$Tg(45-x) = \frac{150 - 24.\sqrt{6}}{138}$

simplificando por 6 no numerador e no denominador :

$Tg(45-x) = \frac{25 - 4.\sqrt{6}}{23}$

Qualque dúvida é só falar.

Veja mais um exemplo sobre equação trigonométrica : https://brainly.com.br/tarefa/26069922