Question

Como resolver ,detalhadamente, essas duas integrais definidas:
a)
  ∫ (intervalo de 1 a 5) (2+3x -x²)dx

Resp: 8/3

 Essa por substituição   b)
 ∫(intervalo de 0 a a) (x√a²+x²)dx

Resp: a³/3

Answer 1

$\int\limits^5_1 {2 + 3x - x^{2} } \, dx = [2x + 3 \frac{ x^{2} }{2 }- \frac{ x^{3} }{3} ] \left[\begin{array}{ccc}5\\1\\\end{array}\right] = \\ (2 . 5 + 3 . \frac{ 5^{2} }{2}- \frac{ 5^{3} }{3} ) - (2 . 1 + 3 . \frac{ 1^{2} }{2}- \frac{ 1^{3} }{3}) = (10 + \frac{75}{2}- \frac{125}{3} ) - (2 + \frac{3}{2} - \frac{1}{3} ) \\ \frac{35}{6} - \frac{19}{6} = \frac{16}{6}= \frac{8}{3}$

$\int\limits^a_0 {x \sqrt{ a^{2} - x^[tex]- \frac{1}{2} ( \frac{-2}{ \sqrt{u} } ) = - \frac{1}{2} ( \frac{-2}{ \sqrt{ a^{2} - x^{2} } } ) \\ - \frac{1}{2}[]${2} } } \, dx [/tex]

$u = a^{2} - x^{2} \\ du = 0 - 2x dx = -2xdx$

Para termos du, devemos então criar um "-2" dentro da integral e, para equilibrar, criar um "-1/2" fora da integral.

$- \frac{1}{2} \int\limits^a_0 {-2x \sqrt{ a^{2} - x^{2} } } \, dx = - \frac{1}{2} \int\ { \sqrt{u} } \, du \\ \\ - \frac{1}{2} \int\ { u^{ \frac{1}{2} } } \, dx = - \frac{1}{2} ( \frac{ u^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } ) = - \frac{1}{2} ( \frac{2 u^{ \frac{3}{2} } }{3} )$

Temos que substituir u antes de substituir pelos limites:

$- \frac{1}{2} ( \frac{2 u^{ \frac{3}{2} } }{3} )=- \frac{1}{2}[(2 ( \frac{a^{2} - x^{2} )^{ \frac{3}{2} } }{3} )]= - (\frac{a^{2} - x^{2} )^{ \frac{3}{2} } }{3})$

Agora substituindo pelos limites de integração:

$- (\frac{(a^{2} - x^{2} )^{ \frac{3}{2} } }{3}) = - (\frac{(a^{2} - a^{2} )^{ \frac{3}{2} } }{3}) = 0 - [- (\frac{(a^{2} - 0^{2} )^{ \frac{3}{2} } }{3})] =\frac{(a^{2} )^{ \frac{3}{2} } }{3} = \frac{ a^{3} }{3}$

Espero ter ajudado.