Question

Como resolver calculos de produtos notáveis

Answer 1

Antes de entendermos o que são produtos notáveis, devemos saber o que são expressões algébricas, isto é, equações que possuem letras e números. Veja alguns exemplos: 2x + 3 = 4 -y + 2x + 1 = 0 z2 + ax + 2y = 3 Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de produtos algébricos. Veja: (x + 2) . (x + 2) = (y – 3) . (y – 3) = (z + 4 ). ( z – 4) = Cinco casos de Produtos Notáveis Há cinco casos distintos de produtos notáveis, a saber: Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos. quadrado = expoente 2; Soma de dois termos = a + b; Logo, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)2 Efetuando o produto do quadrado da soma, obtemos: (a + b)2 = (a + b) . (a + b) = = a2 + a . b + a . b + b2 = = a2 + 2 . a . b + b2 Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é dado por: (a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2 Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. Exemplos: (2 + a)2 = = 22 + 2 . 2 . a + a2 = = 4 + 4 . a + a2 (3x + y)2 = = (3 x)2 + 2 . 3x . y + y2 = = 9x2 +6 . x . y + y2 Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos. Quadrado = expoente 2; Diferença de dois termos = a – b; Logo, o quadrado da diferença de dois termos é: (a - b)2. Vamos efetuar os produtos por meio da propriedade distributiva: (a - b)2 = (a – b) . (a – b) = a2 – a . b – a . b + b2 = = a2 – 2 .a . b + b2 Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável: (a - b)2 = a2 – 2 .a . b + b2 Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. Exemplos: (a – 5c)2 = = a2 – 2 . a . 5c + (5c)2 = = a2 – 10 . a . c + 25c2 (p – 2s) = = p2 – 2 . p . 2s + (2s)2 = = p2 – 4 . p . s + 4s2 Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos. Produto = operação de multiplicação; Soma de dois termos = a + b; Diferença de dois termos = a – b; O produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) . (a – b) Resolvendo o produto de (a + b) . (a – b), obtemos: (a + b) . (a – b) = = a2 - ab + ab - b2 = = a2 + 0 + b2 = a2 - b2 Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável: (a + b) . (a – b) = a2 - b2 Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Exemplos: (2 – c) . (2 + c) = = 22 – c2 = = 4 – c2 (3x2 – 1) . (3x2 + 1) = = (3x2)2 – 12 = = 9x4 - 1 Quarto caso: Cubo da soma de dois termos Cubo = expoente 3; Soma de dois termos = a + b; Logo, o cubo da soma de dois termos é: (a + b)3 Efetuando o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos: (a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) = = (a2 + a . b + a . b + b2) . (a + b) = = ( a2 + 2 . a . b + b2 ) . ( a + b ) = = a3 +2. a2 . b + a . b2 + a2 . b + 2 . a . b2 + b3 = = a3 +3 . a2 . b + 3. a . b2 + b3 Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável: (a + b)3 = a3 + 3 . a2 . b + 3 . a . b2 + b3 O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo. Exemplos (3c + 2a)3 = = (3c)3 + 3 . (3c)2 .2a + 3 . 3c . (2a)2 + (2a)3 = = 27c3 + 54 . c2 . a + 36 . c . a2 + 8a3 Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos Cubo = expoente 3; Diferença de dois termos = a – b; Logo, o cubo da diferença de dois termos é: ( a - b )3. Efetuando os produtos, obtemos: (a - b)3 = (a - b) . (a - b) . (a - b) = = (a2 - a . b - a . b + b2) . (a - b) = = (a2 - 2 . a . b + b2) . (a - b) = = a3 - 2. a2 . b - a . b2 - a2 . b + 2 . a . b2 - b3 = a3 - 3 . a2 . b + 3. a . b2 - b3 Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável: (a - b)3 = a3 - 3 . a2 . b + 3 . a . b2 - b3 O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo. Exemplo: (x - 2y)3 = = x3 - 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 – (2y)3 = x3 - 6 . x2 . y + 12 . x . y2 – 8y3

Answer 2

(2a + 2)² = (2a)² + 2.2.2a + 2² = 4a² + 8a + 4

Regras:

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

(a - b)² = a² - 2.a.b - b²

(a + b).(a - b) = a² - b²