Question

Como resolver a seguinte integrais usando o método da substituição :
1) ∫2×5 dx
2) ∫ sen(ax)dx (a≠0)

Answer 1

1) $\int\ { 2^{5x} } \, dx$

Vamos fazer a seguinte substituição:

u = 5x
du = 5 dx

A integral agora ficou em termos de u. Assim, para que substituamos dx por du, devemos ter 5dx, logo, nós fabricamos 5 dx, e para equilibrar, multiplicamos a integral toda por 1/5. Só então 5dx = du

$\frac{1}{5} .\int\ { 2^{u} } \, 5.dx \\ \\ \frac{1}{5} .\int\ { 2^{u} } \, du = \frac{1}{5}. \frac{ 2^{u} }{ln(2)}$

Mas u = 5x

$\frac{1}{5}. \frac{ 2^{5x} }{ln(2)} = \frac{ 2^{5x} }{5ln(2)} +C$

Assim, 

$\boxed{\boxed{\int\ { 2^{5x} } \, dx = \frac{ 2^{5x} }{5ln(2)} +C}}$

2) $\int\ { sen(ax) } \, dx$

Não conseguimos integrar sen(ax), mas conhecemos a integral de sen(u). Assim, podemos fazer:

u = ax
du = adx

$\int\ { sen(ax) } \, dx = \frac{1}{a}. \int\ { sen(u) } \, adx = \frac{1}{a}. \int\ { sen(u) } \, du \\ \\ = \frac{1}{a}. -cos(u) = \frac{-cos(u)}{a}$

Como u = ax temos:

$\boxed{\boxed{\int\ { sen(ax) } \, dx = \frac{-cos(ax)}{a} + C}}$