Question

Como resolver a seguinte equação? eu tentei usando as propriedades, porém até a partir de certa parte ao consigo resolver.

log(x-2)-1/2log(3x-6)=log2

* todos estão na base 10

Answer 1

log (x-2) - 1/2.log (3x - 6) = log 2
multiplica tudo por 2:

2log (x-2) - log (3x-6) = 2log2
log (x-2)² - log (3x-6) = log 4

log $(\frac{x^{2} - 4x + 4 }{3x-6})$ = log 4

$\frac{ x^{2} - 4x + 4 }{3x - 6} = 4$
x² - 4x + 4 = 12x - 24
x² - 16x + 28 = 0

Δ = 256 - 4.1.28
Δ = 144
√Δ = 12

$x_{1} =$ (16 + 12)/2 = 14
$x_{2} = (16 - 12)/2 = 2$

Pela condição de existência, x > 2, então

S = {14}

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Drmota, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se a seguinte expressão logarítmica:

log₁₀ (x-2) - (1/2)*log₁₀ (3x-6) = log₁₀ (2)

Note que o "1/2", que está multiplicando o log₁₀ (3x-6), subirá como expoente do respectivo logaritmando, ficando assim (isso é uma propriedade logarítmica):

log₁₀ (x-2) - log₁₀ (3x-6)¹/² = log₁₀ (2)

Antes de começarmos a desenvolver, vamos logo para as condições de existência de logaritmos. Como só há logaritmos de números positivos (>0), então vamos impor que os logaritmandos (x-2) e (3x-6) sejam positivos. Assim, imporemos isto:

x - 2 > 0
x > 2

e

3x-6 > 0
3x > 6
x > 6/3
x > 2

Veja que, em ambos os logaritmandos, encontramos que "x" deverá ser, obrigatoriamente, maior do que "2". Logo, a condição de existência que deveremos observar, após resolvermos a questão proposta, será a que vemos aí em cima (ou seja: x > 2).

ii) Agora vamos resolver a questão, partindo do último estágio em que a deixamos, e que foi este:

log₁₀ (x-2) - log₁₀ (3x-6)¹/² = log₁₀ (2)

Como já sabemos que a condição de existência é que "x" seja maior do que "2", e considerando que a base é a mesma (tudo é base 10), então vamos transformar a subtração acima em divisão (é uma outra propriedade logarítmica). Assim, fazendo isso, teremos:

log₁₀ [(x-2)/(3x-6)¹/²] = log₁₀ (2)

Como as bases são as mesmas (tudo é base 10), então vamos igualar os logaritmandos. Fazendo isso, ficaremos da seguinte forma:

(x-2)/(3x-6)¹/² = 2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
(x-2) = 2*(3x-6)¹/² ----- note que (3x-6)¹/² é a mesma coisa que √(3x-6). Assim,substituindo, teremos:

x - 2 = 2√(3x-6) ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado. Assim, fazendo isso, teremos:

(x-2)² = [2√(3x-6)]² ---- desenvolvendo, teremos:
x²-4x+4 = 4*(3x-6) ---- continuando o desenvolvimento, teremos:
x²-4x+4 = 12x-24 ---- vamos passar todo o 2º membro para o 1º, ficando:
x² - 4x + 4 - 12x + 24 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² - 16x + 28 = 0 ---- agora note: se você aplicar Bháskara, vai encontrar que as raízes são exatamente estas duas:

x' = 2
x'' = 14

Mas como já vimos, conforme as condições de existência, que "x" tem que ser necessariamente maior do que "2", então descartaremos a raiz "2" e ficaremos apenas com a outra raiz, que é:

x = 14 <--- Esta é a resposta.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {14}.

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.